考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：证明题。 分析：（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形． 解答：证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， ∴AC=BD，∵BC=CB， ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC， ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF ∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）∵DE=BE?CE ∴
，
2
∵∠DEB=∠DEC=90°， ∴△BDE∽△DEC， ∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°， ∴四边形ABFC是矩形．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．
24．（2011?上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数数
2
的图象与y轴交于点A，点M在正比例函
的图象上，且MO=MA．二次函数y=x+bx+c的图象经过点A、M．
（1）求线段AM的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
- 16 -
（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．
的图象上，
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长；
2
（2）二次函数y=x+bx+c的图象经过点A、M．待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）可设D（n，n+3），根据菱形的性质得出C（n，n解即可．
解答：解：（1）在一次函数y=x+3中， 当x=0时，y=3． ∴A（0，3）． ∵MO=MA，
∴M为OA垂直平分线上的点， 可求OA垂直平分线上的解析式为y=， 又∵点M在正比例函数∴M（1，）， 又∵A（0，3）． ∴AM=
（2）∵二次函数y=x+bx+c的图象经过点A、M．可得
，
2
2_
n+3）且点C在二次函数y=x
2_
x+3上，得到方程求
，
；
解得
2
，
∴y=x﹣x+3；
（3）∵点D在一次函数则可设D（n，n+3），
的图象上，
- 17 -
设B（0，m），（m＜3），C（n，n﹣n+3） ∵四边形ABDC是菱形，
∴|AB|=3﹣m，|DC|=yD﹣yC=n+3﹣（n|AD|=∵|AB|=|DC|， ∴3﹣m=
n﹣n，①，
2
2_
2
n+3）=n﹣n，
2
=n，
∵|AB|=|DA|， ∴3﹣m=n，②
解①②得，n1=0（舍去），n2=2， 将n=2，代入C（n，n
2_
n+3）
∴C（2，2）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大． 25．（2011?上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，
．
（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；
（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形。 专题：几何综合题。 分析：（1）本题需先根据已知条件得出AC的值，再根据CP⊥AB求出CP，从而得出CM的值． （2）本题需先根据EN出
=
，设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求
，求出a的值，即可得出y关于x的函数关系式，并且能求出函数的定义域．
（3）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABCC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长． 解答：解：（1）∵∠ACB=90°， ∴AC=
，
- 18 -
=
=40，
∵CP⊥AB， ∴∴
==
， ， ，
∴CP=24， ∴CM==
，
，
=26； （2）∵
∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a， ∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a， ∵△AEP∽△ABC， ∴∴∴x=16a， ∴a=
， =
， ，
，
∴BP=50﹣16a， ∴y=50﹣21a， =50﹣21×=50﹣
，
x，
∵当E点与A点重合时，x=0．当E点与C点重合时，x=32． ∴函数的定义域是：（0＜x＜32）；
（3）①当点E在AC上时，如图2，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a， ∵△AEP∽△ABC， ∴∴
， ，
∴AP=16a， ∴AM=11a，
∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a， ∵△AME∽△ENB，
- 19 -
∴∴∴a=
=，
=22， ，
，
∴AP=16×
②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a， ∵△EBP∽△ABC， ∴即
==
， ，
解得BP=9a，
∴BN=9a﹣5a=4a，AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a， ∵△AME∽△ENB， ∴即
， =
，
解得a=，
∴AP=50﹣9a=50﹣9×=42． 所以AP的长为：22或42．
点评：本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．
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2011年上海市中考数学试卷【答案+解析】
