,.
椭 圆
重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：
①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|
??PFd?e，0＜e＜1的常数
?。（e?1为抛物线；e?1为双曲线）
2 标准方程：
x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；
ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）
y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；
ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；
②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。
x2y23．参数方程 ：椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程
ab?x?acos? ? (?为参数)
y?bsin??224.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：x2?y2?1（a＞b＞0）有以下性质：
ab坐标系下的性质：
,.
① 范围：|x|≤a，|y|≤b；
② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；
③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短
轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；
a2④ 准线方程：x??ca2；或y??
c⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=r左=a+ex0，|PF2|=r右=a-ex0；
|PF1|=r下=a+ey0，|PF2|=r上=a-ey0;PF?a?c,PFmin?a?c max平面几何性质： ⑥ 离心率：e=
c（焦距与长轴长之比）??0,1?；e越大越______，e?0是_____。 ab22a2⑦ 焦准距p?；准线间距?
cc二、焦点三角形
x2y2结论一：若F1、F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，P是椭圆上一点，且
ab?F1PF2??，当点P位于___________时?最大，cos?=______________.
|PF1||PF2|的最大值为______________. S?F1PF2?btan2?2
结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。 三．中点弦问题
x2y2AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦，中点M坐标为(x0,y0)，则直线的斜率
ab为 。 四．弦长问题.
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则所得的弦长
,.
或 .
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。 五．X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：
x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_________________.
ab六．过椭圆上点切线问题
x0xy0yx2y2??1?2?1222P0(x0,y0)P0abab若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
习 题
1、 求椭圆16x?25y?400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标。 2、已知椭圆的焦点为F1(?1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆的方程为__________________。
22x2y2??1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON的长3、 椭圆
259是___________________。
4、 如果方程kx?y?2表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
22,.
______________。
x2y25、 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
abo若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为__________。
x2y26、 设F1,F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的圆与椭
ab圆的一个焦点为M，若直线F2M与圆F1相切，则该椭圆的离心率为____________________。
x2y2??125167、点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径
为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_______________.
x2y2C:2?2?1FFab8、（2009年上海卷理）已知1、2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P1?PF2.若?PF1F2的面积为9，则b=____________. 为椭圆C上一点，且PFx2y2??1F,F|PF1|?429、（2009北京文）椭圆9的焦点为12，点P在椭圆上，若，则
|PF2|? ；
?F1PF2的大小为 .
x2y2??1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是10、已知椭圆169一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为_________。
x2y2 11、设点P（x，y）在椭圆（1）试求点P到直线x?y?5?0的距离d的最??1，
169大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值。
x2?y2?112、设F1、F2分别是椭圆4的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中
,.
O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
13、已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，点A（?23,0)是其左顶点，点C在椭圆
上，且AC?CO?0，|AC|?|CO|． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若平行于CO的直线l和椭圆交于M,N两个不同点，求?CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
6x2y2??1(a?b?0)2b214、 已知椭圆a的离心率为3，长轴长为23，直线l:y?kx?m
椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆的方程；
uuuruuur（Ⅱ）若m?1，且OA?OB?0，求k的值（O点为坐标原点）；
3（Ⅲ）若坐标原点O到直线l的距离为2，求?AOB面积的最大值．
15、在直角坐标系xOy中，点M到F1(?3,0)、F2(3,0)的距离之和是4，点M的轨迹
C 与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线l：y?kx?b与轨迹C交于不同的两
点P和Q．
（1）求轨迹C的方程；
uuuruuur（2）当AP?AQ?0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．
x2y2?2?1(a?b?0)2A(1,1)b16、已知点是椭圆a上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点,
且满足
AF1?AF2?4.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)设点C,D是椭圆上的两点,直线AC,AD的倾斜角互补,试判断直线CD的斜
率是否为定值?并说明理由.
椭圆性质情况总结及习题集
