。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 3.2.3 空间的角的计算
学习目标：1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)2.二面角的求法．(难点)3.空间三种角的范围．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
教材整理 空间角的向量求法
阅读教材P106～P108的部分，完成下列问题． 1．两条异面直线所成角的向量求法
若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为θ，则cos θ＝|cos b>|. 2．直线和平面所成角的向量求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为θ1，l与α所成的|a·n|角为θ2，则sin θ2＝|cos θ1|＝. |a||n| (1) (2) 图3-2-19 3．二面角的向量求法 设二面角α-l-β的大小为θ，α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|cos n2>|＝|n1·n2|，θ取锐角还是钝角由图形确定． |n1||n2| 图3-2-20 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1 (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( ) (2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝n1·n2 .( ) |n1||n2|(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________． [解析] 由题意得，直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°. [答案] 30° 3．异面直线l与m的方向向量分别为a＝(－3,2,1)，b＝(1,2,0)，则直线l与m所成的角的余弦值为________________． [解析] ∵a·b＝－3＋4＝1，|a|＝9＋4＋1＝14，|b|＝5，∴cos〈a，b〉＝ |a||b|＝ 70＝. 14·570[答案] 70 70 1 a·b4．已知二面角α-l-β，α的法向量为n＝(1,2，－1)，β的法向量为m＝(1，－3,1)，若二面角α-l-β为锐角，则其余弦值为________． n·m1－6－166[解析] cos〈n，m〉＝＝＝－. |n||m|116·11 又因二面角为锐角，所以余弦值为[答案] 66 11 [合 作 探 究·攻 重 难] 66. 11 求两条异面直线所成的角 (1)如图3-2-21，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4， 若M，N分别是BB1，CC1的中点，则异面直线AM与A1N所成角的大小为________. 【导学号：71392202】 2 图3-2-21 (2)在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，DA＝4，AB＝AC＝2，AB⊥AC，E为BC中点，F为CD中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为________． →→→→→→→ [精彩点拨] (1)思路一：以C1A1，C1B1，C1C为基向量，表示AM，A1N，求cos〈AM，A1N〉→→→ 的余弦值；思路二：以C1A1，C1B1，C1C分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出相→→ 关向量的坐标，利用坐标求cos〈AM，A1N〉．(2)题思路如(1)题． →1→→ [自主解答] (1)法一：A1N＝C1C－C1A1， 2→ AM＝AB＋BM＝C1B1－C1A1－C1C， →1→?→→?1→→??→→→1 ∴A1N·AM＝?C1C－C1A1?·?C1B1－C1A1－C1C?＝－×16＋4＝0，∴A1N⊥AM，即异面直线 2?4?2?? →→→→ 1→ 2 AM与A1N所成的角为90°. 法二：如图所示，建立空间直角坐标系： 则A1(2,0,0)，N(0,0,2)，A(2,0,4)，M(0,2,2)， →→ ∴A1N＝(－2,0,2)，AM＝(－2,2，－2)， →→ ∴A1N·AM＝4＋0－4＝0， →→ 即A1N⊥AM，故异面直线A1N与AM所成的角为90°. →1→→→→→1→1→→ (2)法一：如图所示，AE＝(AB＋AC)，BF＝AF－AB＝AD＋AC－AB. 222 3 → →?1→1→??1→1→→?AE·BF＝?AB＋AC?·?AD＋AC－AB? 2??22?2?11 ＝－×4＋×4＝－1， 24→ 又易知|AE|＝2， →21→1 |BF|＝×16＋×4＋4＝9，∴|BF|＝3. 44→→→→AE·BF2 ∴cos〈AE，BF〉＝＝－， →→6|AE||BF|则异面直线AE与BF所成角的余弦值为 2. 6 法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(1，1,0)，B(2,0,0)，F(0,1,2)， →→ ∴AE＝(1,1,0)，BF＝(－2,1,2)， →→ ∴AE·BF＝－2＋1＝－1. →→ ∵|AE|＝2，|BF|＝3， →→ →→AE·BF－12 ∴cos〈AE，BF〉＝＝＝－. →→326|AE||BF|所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为[答案] (1)90° (2)2 6 4 2. 6 [名师指津] 1．利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角． 2．向量法求异面直线所成角的步骤 (1)建立坐标系(或选取基向量)，求直线方向向量坐标(或用基向量线性表示)； (2)求〈a，b〉； (3)利用cos θ＝|cos〈a，b〉|，求θ. [再练一题] 1．如图3-2-22所示，三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 图3-2-22 [解] 建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0，2,0)， →→→∴A1B＝OB－OA1 ＝(－3，1，－3)， O1A＝OA－OO1＝(3，－1，－3)． ∴cos〈A1B，O1A〉＝ → → |A1B|·|O1A|→ → →→→ A1B·O1A→→ ＝ (－3，1，－3)·(3，－1，－3) 7·7 1＝－. 7 1 异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为. 7 5
2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.23.2.3空间的角的计算学案苏教版选修2_1
