等腰三角形常用辅助线 专题练习 （含答案）
1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F， 则AF⊥DE。 ∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE， ∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与 底边上的中线互相重合）。 ∴BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD， 连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说 明理由
解：AF⊥DE．理由： 延长ED交BC于G， ∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE， ∠BGE+∠CGD=180° ∴∠BGE=∠CGD=90° ∴EG⊥BC． ∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2：
过A点作△ABC底边上的高，
再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE
3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中， ∵BA=BC， ∴∠A=∠C， ∵DF⊥AC， ∴∠C+∠FEC=90°， ∠A+∠D=90°， ∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED， ∴∠BED=
∠D， ∴BD=BE， 即△DBE是等腰三角形．
4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC.
证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵AD=AE， ∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°， ∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。 若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。
5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明： 连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90° ∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM≌RT△ADM (HL) ∴CM=DM
6.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做AC的平行线,交AD的延长线于G点
∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC， ∴∠FGB=∠CAF， ∠DBG=∠ACD
在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB
;
∴∠FGB=∠FAE ∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD中 ∵∠DBG=∠ACD，BD=CD， ∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC ∴BF=AC
7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上， 且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC
证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中 ∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE平分∠BAC
等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)
