(完整版)集合知识点总结及习题

集合

?（）元素与集合的关系：属于（?）和不属于（?）?1??（?集合与元素?2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性??（?3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集??4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（?????子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。????nn?1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2个，真子集有(2-1)个。????????2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A?? 注????关系???3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.????4、空集是任何集合的（真）子集。??????真子集：若A?B且A?B?（即至少存在x0?B但x0?A），则A是B的真子集。集合???????集合相等：A?B且A?B ?A?B?????集合与集合??定义：A?B??x/x?A且x?B???交集??????性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B?A,A?B?B，A?B?A?B?A???????定义：A?B??x/x?A或x?B????并集???????性质：A?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B?运算???? Card(A?B)?Card(A)?Card(B)-Card(A?B)?????定义：CUA??x/x?U且x?A??A??????补集?性质：?(CUA)?A??，(CUA)?A?U，CU(CUA)?A，CU(A?B)?(CUA)?(CUB)，???? C(A?B)?(CA)?(CB)??UUU?????一、集合有关概念 1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A、B、C…表示

元素用小写的拉丁字母a、b、c…表示

（2）若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A;

若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a?A;

1

4.集合的表示方法：列举法与描述法。

（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法

格式：{ a,b,c,d }

适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示

（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x |x满足的条件}

例如：{x?R| x-3>2} 或{x| x-3>2}

适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示 ? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N={0,1,2,3，…} 正整数集 N*或 N+ = {1,2,3，…} 整数集Z {…，-3，-2，-1，0,1,2,3，…} 有理数集Q 实数集R

有时，集合还用语言描述法和Venn图法表示 例如：语言描述法： {不是直角三角形的三角形} Venn图: 4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x∈R|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

定义：若对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，

记为A?B（或B?A）

注意：①A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一

集合。

②符号∈与?的区别

?B或B??A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?

2

2．“相等”关系：A=B

定义：如果A?B 同时 B?A 那么A=B

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 3.真子集:如果A?B,且存在元素x∈B,但x?A,那么就说集合A是集合B的真子集，记作A4.性质

① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 5. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作‘A并B’），即A?B ={x|x?A，或x?B})． 韦 恩 图 示 补 集 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA，即 CSA={x|x?S,且x?A} B(或BA)

定 由所有属于A且属于B的元义 素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作‘A交B’），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． ABABS A 图1 图2A?A=A A?Φ=Φ 性 A?B=B?A 质 A?B?A A?B?B A?B﹤＝﹥A?B=A A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B A?B﹤＝﹥A?B=B (CuA) ? (CuB) = Cu (A?B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ．

第一章：集合与函数的概念

第一课时：集合

1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大

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写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A，记做a∈A，反之，元素a不属于集合A，记做a?A。 1.1.2集合中的元素的特征：

①确定性：如世界上最高的山；

②互异性：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}；

③无序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一个集合。

1.1.3集合的表示方法：①列举法；②描述法；③Venn图；④用数轴表示集合。 常用数集及记法有 非负整数集（即自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N N+或N* Z Q R 1.1.4集合的分类： ①根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。 ②根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。 本节精讲： 一. 如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，

即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。

例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。 （1）大于等于1，且小于等于100的所有整数；

2

（2）方程x=4的实数根；

（3）平面内所有的直角三角形； （4）正方形的全体； （5）∏的近似值的全体；

（6）平面集合中所有的难证明的题； （7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系中x轴上方的所有点。 解： 练习：

考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由： （1） 平面直角坐标系内x轴上方的一些点；

（2） 平面直角坐标系内以原点为圆心，以1为半径的园内的所有的点；

2

（3） 一元二次方程x+bx-1=0的根；

（4） 平面内两边之和小于第三边的三角形

222

（5） x,x+1,x+2；

2

（6） y=x,y=x+1,y=ax+bx+c(a≠0)；

222

（7） 2x+3x-8=0,x-4=0,x-9=0； （8） 新华书店中意思的小说全体。

二．有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。

22

例：集合A={y|y=x+1},集合B={(x,y)| y=x+1},(A、B中x∈R,y∈R)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（ ）

A、2∈A，且2∈B B、（1,2）∈A，且（1,2）∈B C、2∈A，且（3,10）∈B D、（3,10）∈A，且2∈B 解：C 练习：

+

3.1415 Q； ∏ Q； 0 R； 1 {（x,y）|y=2x-3}； -8 Z；

三．有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是①确定性②互异性③无序性

2

例：集合A是由元素n-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。 解：n是不等于1且不等于2的整数。 练习:

4

1. 已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq},a≠0,且M与N中的元素完全相同，求d和q的值。

2

y220092010

,1},B={x,x+y,0}，若A=B，则x+y的值为 ，A=B= . x1?m2

3. (1)若-3∈{a-3,2a-1,a-4}求实数a的值； (2)若 ∈{m},求实数m的值。

1?m2. 已知集合A={x，

4.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b}，且M=N,求a,b的值。

2

5.已知集合A={x|ax+2x+1=0,a∈R}，(1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

四．集合的表示法：三种表示方法 练习；

1. 用列举法表示下列集合。

22

（1） 方程 x+y=2d的解集为 ； x-y=0 2

（2）集合A={y|y=x-1,|x|≤2,x∈Z}用列举法表示为 ；

2

8∈Z|x∈N}用列举法表示为 ； 1?x|a||b|（4）集合C={x|=+，a，b是非零实数}用列举法表示为 ；

ab（3）集合B={

2.用描述法表示下列集合。

（1）大于2的整数a的集合； （2）使函数y=

2

2

1有意义的实数x的集合；

x?x?1??x?1?2

（3）{1、2、3、4、…}

3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：

（1）A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；

（2）某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用Venn图表示为： 。

五．有关集合的分类：

六．集合概念的综合问题： 练习 1. 若

3?t???t，则t的值为 _____________； 1?t2. 设集合A={y|y=x2+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y= x2+ax+1, x∈R },试求当参数a=2时的集合A和B；

3. 已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求（1）若集合A为空集，则a的取值范围；（2）若集合A中只有一

个元素，求a的值，并写出集合A；（3）若集合A中至少有一个元素，则a的取值范围。

1.1课后作业：

1.判断下列各组对象能否组成集合： （1）不等式3x?2?0的整数解的全体； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线y?2x?1上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。 2.用符号?或?填空：

（1）2______N （2）2______Q

（3）0______

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?0?