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抽象函数常见题型汇编
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、
定义域问题
(一) 已知的定义域，求的定义域为的定义域。
的定义域为
，则
的定义域，
中
，从中解得的取值
解法：若范围即为
例题1： 设函数，则
的定义域为_______
，故，故
的定义域为的定义域为
（1）函数的定义域为______；（2）函数
，解得，解得
解析：（1）由已知有（2）由已知，得
(二)
已知
的定义域，求的定义域为
的定义域。 ，则由
确定
的范围即为
的
解法：若定义域。
例题2： 函数
的定义域为
，得
，所以
，则的定义域为_____。 ，故填
解析：由
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(三)
已知
的定义域，求定义域求
的定义域。
定义域求得
定义域。
解法：先由
例题3： 函数
定义域，再由
，则的定义域是
定义域是
的定义域，，即
的定义域是
的定义域是_______ ，
解析：先求
再求的定义域，，
的定义域是
(四)
运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4： 函数
的定义域是，求的定
义域。
解析：由已知，有
，即
函数的定义域由确定
函数
【巩固1】 已知函数
的定义域是
的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
，
解析：的定义域是［1，2］，是指
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所以中的满足
从而函数f(x)的定义域是［1，4］
【巩固2】 已知函数
的定义域是，求函数的定义域。 中，由此可得
解析：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在
所以函数
【巩固3】
的定义域是
1f(x)定义域为(0，1)，则y?f(x?a)?f(x?a)(|a|?)定义域是__。
2解析：因为x?a及x?a均相当于f(x)中的x，所以?(1)当? 二、
解析式问题
?0?x?a?1??a?x?1?a ??0?x?a?1a?x?1?a??11?a?0时，则x?(?a，1?a); (2)当0?a?时，则x?(a，1?a) 221. 换元法：即用中间变量
表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公
式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
x)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u2?x?u,则x?解析：设∴f(u)?2∴f(x)? ?1?x?11?u1?x1?u1?u例题5： 已知 f(
2. 凑合法：在已知f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
1，求f(x) x311111解析：∵f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)
xxxxx例题6： 已知f(x?)?x?31x更多资料见微信公众号:数学第六感；微信号：ABC-shuxue; QQ群：391979252
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又∵|x?11|?|x|??1，∴f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1) x|x|3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例题7： 已知f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x+2x+4,求f(x).
2解析：设f(x)=ax2?bx?c，则
f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?413?22?a?,b?1,c?∴=2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?122?2b?2?f(x)?
123x?x? 224. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8： 已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。
∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), ∵f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)
∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)??
?lg(1?x),x?0
??lg(1?x),x?0例题9： f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?1， 求f(x),g(x). x?1解析：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
不妨用-x代换f(x)+g(x)=
1 ………①中的x, x?1更多资料见微信公众号:数学第六感；微信号：ABC-shuxue; QQ群：391979252
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11即f(x)－g(x)??……②
x?1?x?1x1显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1∴f(?x)?g(?x)?
5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式 例题10：
设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及
f(1)=1,求f(x)
解析：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1 ∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3……f(n)?f(n?1)?n 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+……+n=
【巩固4】 设函数f(x)存在反函数，g(x)?f?1n(n?1)1∴f(x)?x(x?1),x?N 22(x)，h(x)与g(x)的图象关于直线
x?y?0对称，则函数h(x)?
A. ?f(x)
B. ?f(?x)
C. ?f?1(x) D. ?f?1(?x)
解析：要求y?h(x)的解析式，
实质上就是求y?h(x)图象上任一点P(x0，y0)的横、纵坐标之间的关系。 点P(x0，y0)关于直线y??x的对称点(?y0，?x0)适合y?f即?x0?g(?y0)。又g(x)?f?1?1(x)，
(x)，
??x0?f
?1(?y0)??y0?f(?x0)?y0??f(?x0)，即h(x)??f(?x)，选B。
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抽象函数题型汇编--7.23 (1)
