1， 设晶体中每个振子的零点振动能为
1?，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 2证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。E0???m0E0???g???d?将E0????13V?和g????23?2代入积分有 22?vsE0?93V94??k?得E?NkB?D ，由于??N?mBD0mm23816?vs82一股晶体德拜温度为~10K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟． 2，根据k???a状态简并微扰结果，求出与E?及E?相应的波函数??及???，并说明它们
2的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布?说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。
＜解＞令k???a，k????a，简并微扰波函数为??A?k0(x)?B?k0(x)
0*??E(k)?E??A?VnB?0
0E VnA????k???E??B?0 取E?E?
带入上式，其中E??E0(k)?Vn
V(x)<0,Vn?0,从上式得到B= -A,于是
A????A??(x)??(x)???L0k0k??n?x?ix??ina2An?asinx =e?e??aL??取E?E?，E??E0(k)?Vn VnA??VnB,得到A?B
?n?x?ix?2An?A?inaa?cosx =???A??(x)??(x)?e?e????aLL??0k0k? 由教材可知，??及??均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度?(k)为零．产生驻波因为电子波矢k?n?2?2a?时，电子波的波长??，恰好满足布拉格发射条件，这
akn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入
能量。
1
3，马德隆常数的计算
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有
?r???j(?1)1111?2[????...] rijr2r3r4r前边的因子2是因为存在着两个相等距离ri的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为 111
??2[1????...]2342xx3x4???... n(1?x)?x?x34111???...?234n当X=1时，有1?2 ???2n2 4， 电子在周期场中的势能．
1m?2?b2?(x?na)2???, 当na?b?x?na?b 2V(x)? 0 ， 当(n-1)a+b?x?na?b
其中d＝4b，?是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．
＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
2
11a1a?bV(x)??V(x)??V(x)dx??V(x)dx
LLaba?b题设a?4b，故积分上限应为a?b?3b，但由于在?b,3b?区间内V(x)?0，故只需在
??b,b?区间内积分．这时，n?0，于是
1bm?2b22m?2V??V(x)dx?(b?x)dx?a?b2a??b2a?2?bx?b?b1?x33b?b?12??6m?b。 ?（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
V(x)?V0?m??????m?22bm?1bm?Vmcosx,Vm?V(x)cosxdx?V(x)cosxdx2b2b?02bb?02bm?2第一个禁带宽度Eg1?2V1,以m?1代入上式,Eg1?b利用积分公式ucosmudu??b0(b2?x2)cos?x2bdx
?2u2musinmu?2cosmu?????3sinmu得 2??mmEg1?16m?2?3b2第二个禁带宽度Eg2?2V2,以m?2代入上式,代入上式
b22m?2Eg2?b?0(b?x)cos?xbdx再次利用积分公式有Eg2?2m?2?2b2
5，考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10 c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为
a?．求在vs?1和k?处的?(k)．大略地画出色散关系．此问题模拟2a如H2这样的双原子分子晶体。
＜解＞ a/2 C 10c
? ? ?
us?1 vs?1 us vs us?1 vs?1
d2usM?C?Vs?1?us??10C?Vs?us?， 2dtd2VsM2?10C?us?Vs??C?us?1?Vs?,
dt将
us?ue2isKae?i?t,Vs?VeisKae?i?t.代入上式有
?M?2u?C?10?e?ika?V?11Cu,?M?V?C?e?10?u?11CV,ika 3
清华大学固体物理：固体物理习题解答
