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信息论与编码理论习题解
第二章-信息量和熵
2.1解: 平均每个符号长为:?0.2??0.4?2323134秒 15 每个符号的熵为?log??log3?0.9183比特/符号
312315所以信息速率为0.9183??3.444比特/秒
42.2 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,
每个码字的信息量为 3*2=6 比特； 所以信息速率为6?1000?6000比特/秒
2.3 解:(a)一对骰子总点数为7的概率是
6366 36 所以得到的信息量为 log2()?2.585 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是 所以得到的信息量为 log21 361?5.17 比特 361,所以给出的信息量为 52!2.4 解: (a)任一特定排列的概率为
?log21?225.58 比特 52! (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为
13!?413413 13?13
A52C5213C52所以得到的信息量为 log213?13.21 比特.
42.5 解:易证每次出现i点的概率为
i,所以 21
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i,i?1,2,3,4,5,621I(x?1)?4.392比特I(x?i)??log2I(x?2)?3.392比特I(x?3)?2.807比特I(x?4)?2.392比特I(x?5)?2.070比特I(x?6)?1.807比特H(X)???i?16
iilog2?2.398比特21212.6 解: 可能有的排列总数为
12!?27720 3!4!5!没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
图中X表示白杨或白桦，它有??3??种排法，Y表示梧桐树可以栽
??种的位置，它有??5??种排法，所以共有??5??*??3??=1960种排法保证没有
??????两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为log227720?log21960=3.822 比特 2.7 解: X=0表示未录取，X=1表示录取； Y=0表示本市，Y=1表示外地；
Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得
?8??8??7??7?
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31p(x?0)?,p(x?1)?,44p(y?0)?p(x?0)p(y?0x?0)?p(x?1)p(y?0x?1)11311????,42410514p(y?1)?1??,55p(z?0)?p(y?0)p(z?0y?0)?p(y?1)p(z?0y?1)?144013???,55100251312p(z?1)?1??,2525?(a)p(x?0y?0)?p(y?0x?0)p(x?0)/p(y?0)?1313?/?104581115p(x?1y?0)?p(y?0x?1)p(x?1)/p(y?0)??/?2458p(x?0y?0)p(x?1y?0)I(X;y?0)?p(x?0y?0)log2?p(x?1y?0)log2p(x?0)p(x?1)3535?log28?log28381844?0.4512比特(b)p(x?0z?0)?(p(z?0y?0,x?0)p(y?0x?0)?p(z?0y?1,x?0)p(y?1x?0))p(x?0)/p(z?0)?(19431369??)?/?101010425104p(x?1z?0)?(p(z?0y?0,x?1)p(y?0x?1)?p(z?0y?1,x?1)p(y?1x?1))p(x?1)/p(z?0)11211335?(??)?/?225425104p(x?0z?0)p(x?1z?0)?p(x?1z?0)log2p(x?0)p(x?1)69356935?log2104?log21043110410444?0.02698比特341(c)H(X)?log2?log24?0.8113比特434H(YX)?p(x?0)p(y?0x?0)log2p(y?0x?0)?p(x?0)p(y?1x?0)log2p(y?1x?0)?I(X;z?0)?p(x?0z?0)log2
p(x?1)p(y?0x?1)log2p(y?0x?1)?p(x?1)p(y?1x?1)log2p(y?1x?1)3139101111?log210??log2??log22??log2241041094242?0.6017比特?实用文档
2.8 解:令X??A,B?,Y??T,F,R?，则
P(T)?P(TA)P(A)?P(TB)P(B)?0.5p?0.3?(1?p)?0.3?0.2p同理P(F)?0.5?0.2p,P(R)?0.2I(p)?I(X;Y)?H(Y)?H(YX)??(0.3?0.2p)log2(0.3?0.2p)?(0.5?0.2p)log2(0.5?0.2p)?0.2log20.2?(0.5plog22?0.3plog210?0.2plog25?0.3(1?p)log210?0.5(1?p)log22?330.2(1?p)log25)?0.3log20.3?0.5log20.5?(0.3?0.2p)log2(0.3?0.2p)?(0.5?0.2p)log2(0.5?0.2p)令I'(p)?0.2log2(0.5?0.2p)?0,得p?0.50.3?0.2p?I(p)max?I(p)p?0.5?0.03645比特
2.9 & 2.12
解:令X=X1,Y=X1+X2,Z=X1+X2+X3, H(X1)=H(X2)=H(X3)= log26 比特 H(X)= H(X1) = log26 =2.585比特 H(Y)= H(X2+X3)
=
2(12363364365361log236?log2?log2?log2?log2)?log26 363623633643656= 3.2744比特 H(Z)= H(X1+X2+X3)
=
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2(1321662161021615216log2216?log2?log2?log2?log2216216321662161021615
212162521627216log2?log2?log2)216212162521627= 3.5993比特 所以
H(Z/Y)= H(X3)= 2.585 比特 H(Z/X) = H(X2+X3)= 3.2744比特 H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X) = 2.585-3.2744+2.585 =1.8955比特
H(Z/XY)=H(Z/Y)= 2.585比特 H(XZ/Y)=H(X/Y)+H(Z/XY) =1.8955+2.585 =4.4805比特 I(Y;Z)=H(Z)-H(Z/Y) =H(Z)- H(X3)
= 3.5993-2.585 =1.0143比特 I(X;Z)=H(Z)-H(Z/X)
=3.5993- 3.2744 =0.3249比特 I(XY ;Z)=H(Z)-H(Z/XY) =H(Z)-H(Z/Y)
《信息论与编码理论》(王育民李晖梁传甲)课后习题问题详解高等教育出版社
