初中数学竞赛辅导资料（54）
整数解
甲内容提要
1. 求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.
2. 求整数解常用的性质、法则： ①.数的运.算性质：
整数＋整数＝整数， 整数－整数＝整数，
整数×整数＝整数， 整数的自然数次幂＝整数, 整数÷（这个整数的约数）＝整数.
②.整系数的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根. 有时用韦达定理x1+x2与x1x1 都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.
③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）. ④.用列举法.
3. 判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾. 乙例题
例1.求下列方程的正整数解：
① xy+x+y=5； ② x2+y2＝1991.
解：①先写成关于x的方程， （y+1）x=5－y.
x=
5?y?y?1?66???1?. y?1y?1y?1当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数. ∵－1＋
6＞0， 且x>0, y>0, y?1∴ 1 ?x?2?x?1∴原方程有正整数解?； 或?. y?1y?2??① 又解：把左边写成积的形式： x(y+1)+y+1=5+1, (y+1)(x+1)=6. ∵6＝1×6＝2×3， 而正整数y+1>1, x+1>1. ?x?1?3?x?1?2∴? 或? y?1?2y?1?3??解得 ??x?1?x?2；或?. ?y?2?y?1 ②要等式成立，x, y必须是一奇一偶，设x=2a, y=2b－1 (a,b都是正整数). 左边x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1. ∴a, b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3. ∴等式永远不能成立. ∴原方程没有正整数解. 例2. 一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数. 若把正整数改为整数呢？ 解：设这个正整数为x，根据题意，得 2??x?38?a(1) ? (a,b 都是正整数). 2??x?129?b(2)(2)－(1)：b2－a2=91 . (b+a)(b－a)=91， ∵91=1×91=7×13 且b+a>b－a. ∴??b?a?13?b?a?91 或? ?b?a?7?b?a?1?a?45?a?3； 或?. b?46b?10?? 解得，?由方程(1)知 a>38, 由方程(2)知 b>129. ∴只有??a?45适合. ?b?46∴ x=a2－38=1987. 答(略). 如果改为整数 ，则两组的解都适合. 另一个解是：x=a2－38=9－38=－29. 例3. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值 是多少？ (1989年泉州市初二数学双基赛题) 解法一：用列举法 与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，… 与3的差是6的倍数的自然数有：3，9， 15，22，27，… ∴符合条件的 最小自然数是27. 解法二：设所求自然数为x, 那么??x?3?5a (a,b都是自然数). ?x?3?6b6b?6b?1 , ?b?1?55∴ x= 5a－3=6b+3, ∴ a= ∵ a, b都是自然数， ∴ b+1是5的倍数， 其最小值是b=4. ∴x=6b+3=27. 例4. m取什么整数值时，方程 mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解？ 解：设方程两个整数根为x1, x2. 那么它们的和、积都是整数. 根据韦达定理： ?m2?22x?x????m?2??1mm ??xx??m?2??m?212?mm?∵x1和 x2都是整数， ∴m是2的约数， 即m=±1，±2. ∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验. 当m=1时，原方程为x2－x－3=0, 没有整数解； 当m=－1 时，原方程为－x2－x－1=0, 没有实数根； 当m=2 或m=－2 时，方程有整数解. 答：当m=2或 m=－2时，方程 mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解. 例5. 已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积. 求：n的值. （1985年上海市初中数学竞赛题） 解：设9n2+5n+26＝m(m+1)， m为正整数. m2+m－(9n2+5n)=26. （ 把左边化为积的形式，先配方再分解因式） 125125）－(3n+)2=26+?, 2643615155 (m++3n+)( m+－3n－)=25， 26269（m+ 去分母并整理得： （3m+9n+4）(3m－9n－1)=230. ∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n.. ?3m?9n?4?230?3m?9n?4?115∴?； 或 ?； 3m?9n?1?13m?9n?1?2??或??3m?9n?4?46?3m?9n?4?23； 或 ?. ?m?9n?1?5?3m?9n?1?10解方程组，正整数的值只有 n=2或 n=6. 例6. 已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m<60. 求：m的整数值. 解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数. △＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m+1). 即当2m+1 是完全平方数时，方程有整数解. ∵12 完全平方数.2m+1=36, 49, 64, 81, 100. 则2m=35, 48, 63, 80, 99. ∴ m 的整数值，只有24，40. 检验：当m=24 时，有整数解32，18； 当m=40时，有整数解50，32. 答：当m=24或 m=40时， 方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根. 丙练习54 1. 已知x2－y2=1991, 则x, y的正整数解是＿＿＿＿＿＿＿. 2. 方程x2+(y+1)2=5的整数解有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3. 已知x1, x2, x3, ……, x2000都是正整数，写出下列方程的一组整数解： ①x1+x2=x1x2 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ②x1+x2+x3=x1x2x3 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ③x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ④x1+x2+x3+……+x2000=x1x2x3……x2000 的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. 已知100≤x(x+1) ≤150，则整数x=_____. 5. 已知x200<2300, 则正整数x=____. 6. 如果x,y都是正整数，且0 那么 它们的和、差的范围是：0 ?x?x?A?x?x?B?7. 已知 ?且A+B+C+D=100，则x=＿＿＿. ?x?x?C??x?x?D(1988年泉州市初二数学双基赛题) 8. 已知被除数是100以内的自然数，在○和( )填上适当的数，使如下带余除法的 ????4?4?运算成立：○÷????5?5 (1990年泉州市初二数学双基赛题) ????6?6?9. 已知a+2=b－2=c×2=d÷2 且a+b+c+d=1989. 则a=___，b=___，c=___，d=___. (1989年泉州市初二数学双基赛题) 10. 若a,b,c,d是互不相等的整数，且 abcd=4. 则a+b+c+d=_____. 11. 求下列方程的整数解： ①2x+2y=xy ； ②2x+10y=1991. 12. m取什么整数值时，下列方程有正整数解？ ① (x－1)=4－x ； ②m2x2－18mx+72=x2－6x.. (1988年泉州市初二数学双基赛题) 13. 已知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的 长和宽. 14. 方程(x－a)(x－8)－1=0有两个整数根，求a的值. (1990年全国初中数学联赛题) 15. 已知a,b是自然数且互质，试问关于x的方程：x2－abx+ 1(a+b)=0 是否有自然数解(两2解都是自然数)如果有，把它求出来，如果没有请给予证明. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 16. 两个自然数的和比积小1000，其中一个是完全平方数，求这两个自然数.
奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-54
