二次函数综合型问题
第13课时 二次函数与三角形的综合
(60分)
1．(20分)[2024·杭州]已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0).在同一平面直角坐标系中，
(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值； (2)若函数y2的图象经过y1的顶点， ①求证：2a＋b＝0；
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②当1 解：(1)由题意，得?解得? ???a＋b＝2，?b＝1，∴a＝1，b＝1； ?b－b2? ?， (2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为?－， 2a4a??－b－b?b? －∴a?2a?＋b＝4a，即b＝2a， ?? 2 2 ∵ab≠0，∴－b＝2a， ∴2a＋b＝0； ②∵b＝－2a， ∴y1＝axx－2，y2＝ax－2， ∴y1－y2＝ax－23∵1 ∴x－2<0，x－1>0，∴x－2∴当a>0时，ax－2 ()() ()(x－1)， ( )(x－1)<0， 1 2 ()(x－1)<0，即y 第 1 页 ∴当a<0时，ax－2 ()(x－1)>0，即y>y. 1 2 2．(20分)[2024·苏州]如图5－1－1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． (1)求b，c的值； (2)如图①，连结BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标； 图5－1－1 (3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由． 【解析】 (1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出c的值； (2)求F的对称点，代入直线BE，即可； (3)构造新的二次函数，利用其性质求极值． 解：(1)∵CD∥x 轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为直线 l：x＝1. b ∴－2＝1，b＝－2，∵OB＝OC，C(0，c)． ∴点B的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c， 解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3. (2)设点F的坐标为(0，m)，∴对称轴为直线 l：x＝1， ∴点F关于直线的对称点F′的坐标为(2，m)． ∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)， ∴用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6. ∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2) 第 2 页 (3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)， 则 PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3.作QR ⊥PN，垂足为R， 11 ∵SAPM＝S△PQN，∴2(n＋1)(3－n)＝2(－n2＋2n＋3)QR， ∴ QR＝1.①点Q在直线 PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标为(n，n2－4n)，N 点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ23 ＝1＋(2n－3)2，∴n＝2 时，NQ 取最小值． 15??1，－此时Q点的坐标为?2. 4??? ②点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n15?1?3 －1)2，∴n＝2时，NQ取最小值．此时Q点的坐标为?2，－4?. ?? 15??315??1 综上所述：满足题意的点Q的坐标为?2，－4?和?2，－4?. ???? 3．(20分)如图5－1－2所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC. (1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)； 5 (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为4，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 图5－1－2 备用图 解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3， －1＋3 ∴A(－1，0)，B(3，0)，对称轴为x＝2＝1； (2)∵直线l：y＝kx＋b过点A(－1，0)，∴k＝b， ∴l：y＝kx＋k， 第 3 页 又∵抛物线与直线l交于点A，∴ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0， ∵CD＝4AC，∴D的横坐标为4， k ∴－3－a＝4，则k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a； (3)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)， ∴EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a， ∴S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝ 1?3?225?x－? 2a?2?－8a， 35255 ∵a＜0，∴当x＝2时，S△ACE去最大值4，即－8a＝4，2 解得a＝－5； (4)以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，令 ax2－2ax－3a＝ax＋a，解得x1＝－1，x2＝4， ∴D(4，5a)，∵抛物线的对称轴为x＝1，设P(1，m)， 如答图②，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a， ∴AD2＋PD2＝AP2，52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2， 7?26 ∴a＝－7，P?1，－ 7? 7??； ? 第3题答图 ②如答图③，若AD是矩形APDQ的一条对角线，则易得Q(2，－3a)，m＝5a－(－3a)＝8a，P＝(1，8a)， ∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2， 第3题答图① 第 4 页 1 ∴a＝－2，P(1，－4)． ?267? ?或(1，－4)． 综上所述，P的坐标为?1，－ 7?? (20分) 4．(20分)[2024·湖州]如图5－1－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC. (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； 图5－1－3 (2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标． 【解析】(1)将点A，C的坐标代入函数表达式，即可求出b，c的值，通过配方法得到点M的坐标； (2)点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的表达式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC，AB相交时y的值，即可得到m的取值范围； (3)由题意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标． 解：(1)把点A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数y＝－x2＋bx＋c，得???－9＋3b＋c＝1，?b＝2， ?解得? ???c＝4，?c＝4， ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4， 配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M的坐标为(1，5)； 第 5 页
江苏省苏州市2024届中考数学二轮复习第13课时《二次函数与三角形的综合》
