充分与必要条件（1）（教学设计）
1.2.1充分条件与必要条件
教学目标 知识与技能：
正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。 过程与方法：
充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。 情感、态度与价值观
通过“p?q”与“q?p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。 教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．
(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) 难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。 教学过程： 一、复习回顾
1、四种命题的形式与关系
二、创设情境，新课引入
当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.
三、师生互动，新课讲解
问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2 （2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2>1，则x>1
（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 推断符号“?”的含义 “若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p?q，或者q?p；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
简单地说，“若p则q”为真，记作p?q（或q?p）；
“若p则q”为假，记作pq（或qp）.
命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p?q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”
说明： “p?q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”，理解为“p”为“q”的子集。
1.什么是充分条件？什么是必要条件？
一般地，如果已知p?q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知p?q，且q?p，那么就
说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；
回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.
命题(1)中因x＝y? x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；
命题(2)中因a = 0? ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；
命题(3)中，因“x>1?x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件. x2>1 x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.
命题(4)中，因x＝1或x＝2? x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： 2.充分条件与必要条件的判断
例1（课本P9例1）下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
2
（1）若x ＝1，则x － 4x ＋ 3 ＝ 0； （2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
2
（3）若x为无理数，则x为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q． 解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的p是q的充分条件。
3．充分条件与必要条件的判断方法： （1）直接利用定义判断：即“若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的） （2）利用等价命题关系判断：“p?q”的等价命题是“?q??p”。即“若┐q?┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。
例２（课本P10例2）下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
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(1) 若x ＝ y，则x ＝ y；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (3) 若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q． 解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的q是p的必要条件。
例3： 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： （1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.
（2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2
（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.
解：⑴由p?q，即x-1=0?(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由p?q，即两条直线平行?内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；
⑶由pq，即a>b a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.
综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。
⑷由q? p，即四边形是正四边形?四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件； 综述：p是q的必要不充分条件。
以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
学习课堂练习（课本P10练习：NO：1；2；3；4）
例4：设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，分别观察下图，说说A是B的什么条件？ A BB A C
C
A 图2
例5如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答： ⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.
⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.
解法1(直接判断)：
⑴∵“A为绿色?B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵如图2⑴，∵“红点在B内?红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
解法2(利用逆否命题判断)：
⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色 ? A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.
⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内?红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.
如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例5为例来说明.
先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p?q）的形式.
再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例5的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q?┐p）的形式.
总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
例5的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 4．用集合的思想理解充分与必要条件
给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件q},B={x |x满足条件p} ①A?B,则p为q的充分条件，q为p的必要条件； ②B=A, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；
5．分析比较充分条件、必要条件与充分不必要条件、必要非充分条件和充要条件的区别和判定 命题：若p，则q
(1)若p?q，且q p.则P是q的充分不必要条件 (2)若p q，且q?p.则p是q的必要不充分条件
(3)若p?q，且q?p.则p是q的充要条件，q也是p的充要条件 (4)若p q，且q p.则p是q的既不充分与不必要条件
备注：只能“已知（条件）”是“结论”的什么条件。
四、课堂小结，巩固反思
本节主要学习了推断符号“?”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. （1）若p?q（或若┐q?┐p），则p是q的充分条件；若q?p（或若┐p?┐q），则p是q的必要条件. （2）条件是相互的；
（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：
① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；
③ p是q的充要条件； ④ p是q的既不充分也不必要条件。
五、布置作业：（分层作业） A组： 1、（课本P12习题1.2 A组：NO：1） 2、（课本P12习题1.2 A组：NO：2）
3、用“充分”或“必要”填空，并说明理由：
①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；（答：充分） ②“x＞5”是“x＞3”的 条件；（答：充分） ③“x?3”是“|x|?3”的 条件；（答：充分） ④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；（答：充分） ⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；（答：必要）
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⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac?0”是“这个方程有两个正根”的 条件；（答：必要）
4．已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．（答：充分） 5．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ A）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件： 如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件； 解：图(1)：充分但不必要条件； 图(2)：必要但不充分条件； 图(3)：充要条件；
图(4)：既不充分也不必要条件.
7．“a?b?c”是“?a?b??b?c??c?a??0”的 _________ 条件．（答：充分不必要） B组： 1．??????4???2是?的什么条件?并说明理由.
????4???2解：????2?????4?????4 ??但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足?
???2????4?????4???2?????4???2但不满足?所以?是?的必要但不充分条件.
??2???4??2???
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2．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.
解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}
如图，依题意，p?q，但q不能推出p，说明A?B，则有
?a?0,??1?a??2, 解得0＜a≤3. ?1?a?10.?C组：
1、p：?2?x?10；q：1?m?x?1?m?m?0?．若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：由于?p是?q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件 ?1?m??2于是有??m?9
10?1?m?
充分条件与必要条件(教学设计)
