2x
(2)
s n
sinx ::: x,x (0,—)； n 2
(3) x 23. 设
n
x
| n(1 x) ：：： x ,x 0 2 2(1 +x)
2 2
x4sin2 —, x 式 0,
f(x)二 x .
0,
x =0
(1) 证明:x=0是函数f的极小值点；
(2) 说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件
24. 证明：设 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在 x=b 连续，则当 f (x) >0(a
f \0)>0(<0),则X0为f的极大(小)值点?
26. 证明：若函数f,g在区间［a,b］上可导 且f (x)> g (x), f(a)=g(a),则在a,b】内有f(x)>g(x).
27.
证明:巫丄
x si nx
28. 证明：
(1) 若f为凸函数，入为非负实数，则入f为凸函数； (2) 若f、g均为凸函数，贝U f+g为凸函数；
⑶若f为区间I上凸函数,g为J二f(I)上凸的递增函数，则gof为I上凸函数.
29. 设f为区间I上严格凸函数 证明若X°� I为f的极小值点，同X。为f在I上唯一的极小值 占 八、、-
30. 应用凸函数概念证明如下不等式
a b “
：
b
1a
(1) 对任意实数 a,b,有e 2 \(e e );
2
(2) 对任何非负实数a,b,有
2arctg
'a + b L
|>arctga+arctgb.
.
31. 证明若 f.g均为区间I上凸函数，则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函数. 32. 证明:
(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对
I上任意三点X1 1 X! f(xj △ = 1 X2 f(x 2 ) > 0. 1 X3 f(X3) X1 (2)f为严格凸函数的充要条件是对任意 33. 应用詹禁不等式证明： (1)设 a>0(i=1,2,…n)，有 an 1 1 1 一 + 一 + …+ 一 1 2 n a a a n ⑵设 ai,bi>0(I=1,2,…,n),有 1 m 1 二 ab _ (二 3卩)—(二 bi ) i Ji =4 P i 三 8 1 1 n 其中 P>0,q>0, =1. p q 五、考研复习题 1. 证明:若f(X)在有限开区间(a,b)内可导,且 lim f(X) XT + a,b)，使 f (E )=0. 2. 证明若x>0,则 二lim f(x)，则至少存在一点 x—b - 1 2 A r(x) 1 ( ，其中 廿⑴込； 1 1 2)li m「(x)s,! im j(x) b 3. 设函数f在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且ab>0?证明存在E � (a,b),使得 a - b f(a) f(b) ★( )- f( )■ 4. 设f在[a,b]上三阶可导，证明存在E � (a,b),使得 1 1 f(b) =f(a) -(b -a)[f (a) f (b)p-(^ a)3f (). 2 12 5. 对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明対x>0有 0 :: 1 In (1 x) 一丄“ x 6. 证明若函数f在区间［a,b］上恒有f (x)>0,则对(a,b)内任意两点X1 ,X2,都有 f(xj +f(X2)二 f 匸1 +X2 ] 其中等号仅在Xi=X2时才成立? 7. 证明:第 6题中对(a,b)内任意n个点xi,X2…,Xn也成立 n 丄J f(Xk)—f n — Xk k」 n 其中等号也仅在 Xi=X2=???=Xn时才成立。 8. 应用第7题的结果证明：对任意 n个正数X1,X2，…,Xn恒成立 x1 x2 卷 u Xn n n 个正实数，且 -: X1X2…Xn 即算术平均值不小于几何平均值。 9. 设ai,a2,…,an为 i =广aX +a2 + …+an 匚 n 证明：(i) limf (X) 」 X—JOO f(X) (ii) lim f(x) =max\2 10. 求下列极限: a： x_ limXeX-ln(1 X) (2) ^_0 X2 1 (1) lim (1 —x2)ln(1 \; xT — 1 x sin x (3) lim . XT sinx 11. 证明：若函数f在点a二阶可导,且 f (a)工0,则对拉格朗日公式 f(a+h)-f(a)= f (a+ 0 h)h,0< 0 <1 1 中的0有lim 0 =— h-jp 2 2 12. 设h>0,函数f在U(a,h)内具有n+2阶连续导数，且f(n+2)(a)丰0,f在U(a,h)内的泰勒公式为 f(a+h)=f(a)+ f (a)h+ … +吗n. f(n p (a 汕) (n 1)! 1 证明：”叫 n! h ,p< 0 <1. n 1 13. 设函数f在［a,b］上二阶可导，f(a) =f(b) =0.证明存在一点E � (a,b),使得 f ( J - (b 4a)2 f(b) -f(a) 3 14. 设a,b>0，证明方程x +ax+b=O不存在正根 15. 设k>0,试问k为何值时，方程arctgx-kx=O 格单调. 证明:当 x � ［0,1］时有不等式 17. 存在正根. 16. 证明：对任一多项式 p(x)来说,一定存在点 X1与 x 2,使 p(x)在 (X1,+ )与(-g ,X2)上分别为严 1 w Xp+(1+x)pw 1(其中实数 p>1). 18. 讨论函数 X 2 ? 1 n x sin , x = 0, f(x)= 2 x ]o,x =0, (1)在x=0点是否可导？ ⑵在x=0的任何邻域内函数是否单调 ？ 19. 设函数f在［0,a］上具有二阶导数，且|f”(x)| < M,f在(0,a)内取得最大值 证明： |f (0)|+|f (a)| w Ma. 20. 设 f 在 上可微且 Ow f (x) w f(x),f(O)=O.证明:在 0上 f(x) = 0. 21. 设 f(x)满足 f (x)+ f (x)g(x)-f(x)=0,其中 g(x)为任一函数.证明:若 f(X0)=f(x 1)=0(X0 22. 证明:f为I上凸函数的充要条件是对任何 ［0,1］上 的凸函数. X1,X2� I,函数「(入)=f(入X1+(1 -入)X2)为
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)
