1 1
⑶ ximox(「ctgx).
7?估计下列近似公式的绝对误差
x3
(1) sin x ： x ，当 | x |
1
;
6 2
______ 2
(2) .1 x T 一 —一,当 x � [0,1].
2 8
8. 计算：(1)数e准确到10-9;
(2)lg11 准确到 10-.
1. 确定下列函数的单调区间：
(1) f(x)=3x-x ;
3
(2) f(x)=2x -lnx;
2
⑶ f(x)= 2x - x2
9.
x2 -1
⑷ f(x)=-
x
求下列函数的极值.(1) f(x)=2x -x ;
3
4
2x
⑵ f(x)=p
(3)f(x)=曲;
(4) f(x)=arctgx- - In(1+x2).
x
5
4
3
2
10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值
(1) y=x -5x +5x +1,[-1,2]; (2) y=2tgx-tg x, [0,—];
2
兀
2
⑶ y= . x lnx, (0,+ g).
11. 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大
12. 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与 容器的高的比例应该怎样 ？
13. 设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,an.问以怎样的数值x表达所要测量 的真值，才能使它与这 n个数之差的平方和为最小？ 14. 求下列函数的极值:
2
(1) f(x)=|x(x -1)|;
(2) f(x)= 少 2[ ; (3) f(x)=(x-1) (x+1).
12
3
x -x +1
2
12
15. 设f(x)=alnx+bx +x在x =1,x =2处都取得极值；试定出a与b的值并问这时f在X1与X2 是取得极大值还是极小值
？
16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.
17. 要把货物从运河边上 A城运往与运河相距为 BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单 价是a元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 > a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省. 18. 确定下列函数的凸性区间与拐点
3
：
1
2
(1) y=2x -3x -36x+25;
2
⑵ y=x+ ;
x
1 (4) y=ln(x 2+1);
(3) y=x + -
x
19. 问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点? 四、证明题 1. 证明：
3
(1)方程x — 3x+c=0 (这里C为常数)在区间［0, 1］内不可能有两个不同的实根;
(2)方程xn+px+q=O(n为自然数，p, q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当 为奇数时至多有三个实根。
2. 证明：(1)若函数 f 在［a, b］上可导，且 f (x) > m,则 f(b) >f(a)+m(b-a);
(2)若函数 f 在［a,b］上可导，且 |「(x)| w M，则 |f(b)-f(a)| < M(b-a); (3)对任意实数 xi,X2都有 |sinxi-sinX2|w |xi-X2|. 3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
/八 b _a ‘ b b_a \亠 (1) 1n
，其中 0 b a a (2) h 1 h2 — 4. 设函数f在［a,b］上可导。证明：存在 E �( a,b)，使得 2E ［f(b)-f(a)］=(b -a)f (E ). 5. 设函数在点a具有连续的二阶导数。证明： 2 2 f (a h) f(a -h) -2f (a) f''(a). 6. 试讨论函数f(x)=x 2,g(x)=x 3在闭区间［-1，1］上能否应用柯西中值定理得到相应的结论, 什么？ 7.设 0< a < 3 <2，试证明存在 0 � (a,b)，使得 , A co^-cosa=Ctg 0 . sin a -sin : 8. 设h>0，函数f在［a-h,a+h］上可导。证明： (1) f(a h) 一f(ah 7)二f(a rh)_f'(a7h)，0 �( 0，1)； f(aa)a(2) h)-f( f(-h) =fQ f)_f'(a“h)，0�( 0,1). h 9. 以S(x)记由(a,f(a)) ,(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积，试对 证明拉格朗日中值定理。 10. 若函数f, g和h在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，证明存在实数E � (a,b)，使得 S(x)应用罗尔中值定理 f(a) f(b) f() g(a) h(a) g(b) h(b) =0. g'(E h'(E 再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 11. 设f为［a,b］上二阶可导函数，且 f(a)=f(b)=0,并存在一点c�( a,b)使得f(c)>0.证明至少 存在一点 E � (a,b),使得 f ”( E )<0. 12. 证明达布定理：若 f在［a,b］上可导，且「⑻工f (b),k为介于「(a)与「(b)之间的任一实 数，则至少存在一点E � (a,b),使得f'(E )=k. 13.设函数 f在(a,b)内可导，且f/单调。证明f /在(a,b)内连续。 (n) 14. 证明：设f为n阶可导函数，若方程 f (x) =0有n+1个相异实根，则方程f(x)=0至少 有一个 实根。 15. 设p(x)为多项式，a为p(x)=O的r重实根。证明 ：a必定是p/ (x)=0的r-1重实根。 16.证明： (1)设 f 在(a,+s)上可导，若 lim f(x)和 lim f (x)都存在贝U lim f (x) =o； 和lim f k(x)都存在，则 ⑵设f在(a,+s)上n阶可导 若Jim f(x) x_ . k lim f (x) =0,(k=1,2,…,n)。 x_. 17.设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数 试应用罗比塔法则证明 f(a h) f(a - h) - 2f(a) 2limj ----------------------- 门 ---------- =f (a) h [0,x]上应用拉格朗日中值定理有 / 18.对函数f在区间 ( 0 x)x, 0 � (0,1). f(x)-f(0)=f 1 试证对下列函数都有 lim ; x ：o 2 (1) f(x)=l n(1+x); x (2) f(x)=e . 19. 设f(0)=0,f /在原点的某邻域内连续，且f / (0)=0.证明: lim xf(x) =1. X 0亠 20. 证明定理6.5中lim f(x) =0, lim g(x) = 0情形时的罗比塔法则 若 x— (i) lim fx = 0, lim (x) =0 鈕 x— )内可导，且 gz (x)丰(ii) 存在M°>0,使得f与g在(M0,+ 0; f (x) f (x) (iii) (A 區丽巳咛xrA为实数，也可为 w或^ ),则 3 21. 证明：f(x) = xe^为有界函数. 22. 应用函数的单调性证明下列不等式 3 x - / c n (1) tgx>x- ,x (0,—)； 3 3
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)
