5.7 系统的传递函数方框图如图所示，已知T1?0.1,T2?0.25，
Xi(s) Xo(s)
K + s(T1s?1)(T2s?1)
试求：
（1）系统稳定时K值的取值范围； 解：
由题意可以写出系统的闭环传递函数为：
KKs?T1s?1??T2s?1? GB(s)??32KT1T2s?(T1?T2)s?s?K1?s?T1s?1??T2s?1?- 系统的特征方程为：T1T2s3?(T1?T2)s2?s?K?0
T?T221K即：s3?(1)s?s??s3?14s2?40s?40K?0
T1T2T1T2T1T2由特征方程写出Routh表： s3 s2 ss1 1 14 560?1?40K14 40 40K 14?0?1?0?0 14 0 0 0 40K 根据Routh判据，系统闭环稳定的充要条件为：
?560?40K?0? 40K?0?即：
14?K?0
5.9试根据下面开环频率特性，使用Nyquist判据分析相应的闭环系统的稳定性
10GK(j?)?
????j?j??1j10??1解：使用Nyquist判据要求画出开环频率特性GK(j?)的Nyquist轨迹
GK(j?)的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：
GK(j?)?10?(??1)(100??1)22
?GK(j?)?0?
?2?arctan?1?arctan10? 1将GK(j?)表示成下式：
GK(j?)??j?(1?j?)(1?j10?)?10?(??1)(100??1)22??110??j(100?2?10)?(??1)(100??1)22
可得其实频特性函数与虚频特性函数分别为：
Re{GK(j?)}??110??(?2?1)(100?2?1)
Im{GK(j?)}?(100?2?10)?(??1)(100??1)22
考虑?的几个特殊值 当??0：
23当???： G(j?)?0 ?G(j?)???
2由于当?从0变化至?，?G(j?)从?G(j?)?? ?G(j?)????3?变化至?，因此该系统的Nyquist轨迹必然从22复平面的第三象限移动至第二象限，也即轨迹必然与负实轴相交。
令Im{GK(j?)}?此时：
(100?2?10)?(??1)(100??1)22?0，即??110
Re{GK(j?)}??110??(?2?1)(100?2?1)??110??9
(0.1?1)(10?1)即Nyquist轨迹与负实轴相交点为（-9，j0）
由此可以做出GK(j?)的Nyquist轨迹图，如下：
由此可见，系统的开环频率特性GK(j?)的Nyquist轨迹对（-1，j0）点顺时针包围两圈，即N=2，
10，极点为s?0,?1,?0.1，全部位于s
s?s?1??10s?1?平面的左半平面，即开环系统为最小相位系统，P=0。
所以，开环系统位于右半平面的零点个数Z=N+P=2，也即闭环系统具有位于右半平面的两个极点。所以该闭环系统不稳定。
5.11 设系统的开环传递函数为：
KGK(s)?
s?s?1??0.2s?1?又因为开环系统的传递函数GK(s)?求K=10时的相位裕度?和幅值裕度Kg （
帮助公式：0.04(2.86)6?1.04(2.86)4?(2.86)2?100
?20log）
102.23(2.23?1)(0.04?2.23?1)22??4.48 解：系统的开环频率特性GK(j?)为：GK(j?)?K
j??j??1??j0.2??1?GK(j?)的幅频特性函数与虚频特性函数分别为：
控制工程基础第5章习题解答
