5.3.6绳结的受力分析
在用相同的绳索打结时，打结的方法不同，绳结的空间结构不同，绳结的松紧度也不同，根据我们小组的讨论，不同的打结方式，打出来的结它的结构，缠绕数等因素不同，根据静力平衡原理，绳索打结后，它的静摩擦力越大，绳结越紧，越不容易自动松脱。为了分析绳结的摩擦力，我们队绳索打结受力分析建立模型如图。
图11：绳索打结受力模型图
其中F1a 表示绳索打结时第一条线端受到的牵引力, F1b表示绳索打结时第一条线的另一端受到的牵引力，?1，?1表示第一条线与水平线间的夹角，
F2a,F2b,?2,?2分别表示绳索的下端受到的力和与水平线间的夹角，P,P?表示两
线间的接触点，绳结处于静力平衡状态时有：
F1a?F1b?F2a?F2b?0
为我了简化模型，仅考虑对称绳结的情况 ：
?（（（（1t)??2t)??,?1t)??2t)??
F1a?F2a?Fa，F1b?F2b?Fb
F1acos?1(t)?F1bcos?1(t)?u(f1a?f1b)
绳结打紧时不松脱处于静力平衡的状态，这时绳结的受力状态应满足下面的式子：
f1a?F1asin?1(t)f1b?F1bsin?1(t)F1a?F2a?
当发生滑动：
F1acos?1(t)?F1bcos?1(t)??(f1a?f2b)
sin?1(t)F1bsin?1(t)由上面的式子我们可以得出，在角度不变的情况下，摩擦系数越大，绳结的静摩擦力就越大，绳结就越不容易产生滑动，绳结就越稳定，越不容易自动松脱，由高中物理所学知识我们可知，绳子表面越粗糙，绳子的摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，结合到现实生活，我们可以得出，绳索越软，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。
5.3.7问题二小结
形成绳结的松紧影响着打结质量的好坏，而形成的绳结的稳定性及绳结的质量和绳结的能量有很大的关系。绳结在低能量状态是稳定的。绳结处于高能量状态时，有像低能量状态转变的趋势，转变的方式往往是绳索发生变形，容易脱落。因此，在打结的时候，如果绳索具有较高的能量，容易在接下来的打结操作中发生从正确位置上滑动等不良现象。
绳索直径对绳索张力有直接影响，直径越大，所需张力呈近似指数关系增大。当绳索直径较大时，张力很大，对外界所需要提供的物资和能源的要求增加。所以在不同的打结方法中，直径是能影响松紧度的，且直径越大，绳结越容易自动松脱。在角度不变的情况下，摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，绳结就越不容易产生滑动，绳结就越稳定，越不容易自动松脱，由高中物理所学知识我们可知，绳子表面越粗糙，绳子的摩擦系数越大，绳结的最大静摩擦力就越大，结合到现实生活，我们可以得出，绳索越软，绳结越稳定，绳结越不容易自动松脱。
六、模型的进一步讨论与改进
在本模型中我们采用了放大和变量分离的办法，近似地将绳索打结拉紧后的成像看作椭圆形，近似地将其看作规则图形，在现实生活中，绳子在打结的过程中，所成图形是不规则的，所以实际数据与理论数据会产生偏差，在计算绳索所成线圈的面积的时候，由于空间较小，a和b的值比较难以测量，在数据上存在误差。
模型改进：
1、 在给绳索打结时，由于人为地拉紧绳索，很可能造成受力不均，因此，我们在打结过程中，用机器对绳索两头用力，且用力大小相同。 2、 在绳索打结拉紧过程中，绳结由松到紧的过程中，运动速度不同，可能对绳结最终状态有一定的影响，因此，我们在建立模型的过程中进一步改进，在拉紧过程中速度缓慢，近似将它看为静力平衡状态。 3、 在测量绳索角度和绳子直径的时候我们使用更加精细的测量工具，将数据误差控制到最小的范围之内。
七、附录
算法：
?K??B1B2B3B4?T?Bi??EXiENi?? 矩阵1： ?EXi?1QEXi2QEXi?12QENi?ENi?QENi?i?1,2,...6?B5B6?????
??B?B?B?B??K1234???EX?EN?T?Biii???12QEX?EXi?QEX??ii???1Q?2Q??ENiENiENi??i?1,2,...6 矩阵2： ???????B5?B6???
?M1??1?M??j?2??1 矩阵3：M??M3???a1????M4??m1???M5???b1
2j2a2...k...jk...akm2...mkb2...bk...2ri?...j2ri??...a2ri?
?...m2ri?...b2ri???
??S
?椭圆??(a?r)b?L2?S圆?
4???3L??[(a?r?b)?(a?r)b]?椭圆
2?
L???(??(0,1))?L椭圆???S椭圆4?(a?r)b????3S圆??[(a?r?b)?(a?r)b]
2 公式1： ?
16?2a1a2b1b2???1?2?3(a2?b2)23(a1?b1)L[?a1b1][?a2b2]22
公式3：
n
Wr??akk?1
公式4：
J?0.5k12?1?0.5k23?2?0.5k(?1??2）?k?1?2
公式5
2222
S总??S椭圆??
公式6：
f?max(sumk(?1??2)2?s椭圆）
公式7：
d??dN?2Fsin?2??2??u1dN?G?? ?2公式8：
n
Wr??akk?1
Tw?Lw2?
IK?Tw?Wi公式9：
Dt
F?Ae?F0，A = 5.00986，t = 10.33204，F0 =－0.68228，R =
0.9975 。
2015年第八届数学建模认证杯网络挑战赛-第一阶段A题优秀论文2
