图3：模型简化图1
J?0.5k12?1?0.5k23?2?0.5k(?1??2）?k?1?2
只有当?1??2时，Jmin?k?2，考虑到实际情况中，?1，?2不相等，所以我们考虑?1-?2的值，它们的绝对值越小，它们弯曲变形的能量J越小，越稳定。
5.3.2模型的分析
打第二个结是在第一个结拉紧的情况下，在其上打第二个结，类似研究只打单结的方法先测量出打第二个结，由于打法不同记不同种打法所产生的角度为，记它们的弯曲变形的总能量J越小，绳结就越不容易自动松脱。
2222J?k(??1??n)
225.3.3模型的延拓
由于在连续打结的过程中，会使其空间结构发生一定的改变，从而会使它的角度产生一定的误差，使结果有偏差，因此，我们根据绳结成线圈的对称性，可近似认为其形状为椭圆形。对于椭圆来说，其方程为:
2x?yab222?1
b可以用表示椭圆度，同时，由于绳索本身有直径，记作2r，如图4所示 a图4：椭圆度
它会影响椭圆a和b的值，因此我们近似把椭圆的方程写为
x?y(a?r)b2222?1 ：
但是对于线圈来说，不能使用?=最小偏差/最大偏差来表示线圈椭圆度。需要综合考虑绳结所围线圈的面积、线圈椭圆度等因素。
算法：
S椭圆??(a?r)bL2S圆?4?3L椭圆??[(a?r?b)?(a?r)b]2L??(??(0,1))L椭圆
???S椭圆S圆?4?(a?r)b?[(a?r?b)?(a?r)b]32
例如对于圆来说，a=b，L=2,代入第4个式子，可得，表明圆形线圈打出的结最不易松开。
但是对于绳结打结过程，由于形状不规则，应根据其对称性进行分析。其上半部分按第一部分绳结参数计算其线圈规则度，下半部分按第二部分绳结参数计算其线圈规则度，总线圈规则度为.
即：
.
16?2a1a2b1b2???1?2?3(a?b)3(a?b)L2[11?a1b1][22?a2b2]22S总??S椭圆??
由日常经验可知，在解绳结时，绳结之间的空隙越大，绳结越容易解开，也
更容易自动松脱，根据椭圆的面积公式，我们可以推出，绳索的直径越大，在相同的打结方法之下，椭圆的短半轴越大，椭圆的面积越大，根据这个数学模型，我们推出绳索的直径越大，绳结越容易自动松脱。
5.3.4模型的数据验证
绳索打结的松紧度与?1和?2的角度只差有关，也与所求的椭圆面积有关。我们用MATLAB程序画出了在角度与面积的双重影响下，绳结的能量值的三维图像，如图5所示:
图5：绳结的能量值
从图中我们可以看出，在三维图形下有一个最低值，即当线圈所围面积最小，
?1??2时，机械能最小，绳结最稳定，绳结最不容易自动脱结。当线圈面积一定是，两边角度差值越大，绳结机械能越大，绳结越不稳定，绳结越容易自动松脱；在角度相同的情况下，线圈所围面积越小，绳结的机械能越小，绳结越不容易自动松脱。
其次建立模型f?max(sumk(?1??2)2?s椭圆），当f越小时，整个绳结的机械能越小，越稳定。可以用matlab来编写程序，做出其对应的图。
在matlab中，我们称?1和?2为x,y，我们对于椭圆的面积?ab，是可以直接用excel处理的，为了便于matlab程序，s椭圆记为z，则有画图程序：
程序1
x=0:pi/2; y=0:pi/2;
z=1:5;
[x,y,z]=meshgrid(x,y,z);
f=(x-y).^2.*z; isosurface(x,y,z,f)
（1）改变z值的范围，其对应的f值也相应变化。f随着z的增大而有增大的趋势，也就是说，当?1和?2值是固定的时候，椭圆面积越大越容易脱落。我们可以从图中知道，z的改变并不会使能量值发生线性变化，在同一次打结中，可以把与绳索自身相关系数的k记为1，这样就省去了讨论k的值。
图6：能力值变化图
（2）改变x值的范围，由于x和y的值是可以随机变化的，我们可以只考虑
?其中一个的变化。且?1，?2?[0,]，当?1-?2的值越小时，越稳定。此时椭圆的
2面积是一定的，我们考虑其中一个θ值的变化，得出是f的值是不一样的。当x和y的的绝对值之差越大时，绳索的两次所受张力之和比较大，有利于绳索想保持原来的状态的趋势，当外界给的力撤销以后，比较容易脱落。
2015年第八届数学建模认证杯网络挑战赛-第一阶段A题优秀论文2
