故??(??)
故a的最大值为是??3， 故选：D．
求函数的导数，根据函数存在极小值等价为??′(??)=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．
本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大． 13.【答案】6 12
【解析】解：则老年人数小于2×4=8，故老年人数最多为7， ①若青年人的人数为4，∵老年人的人数多于中年人的人数， 故中年人的人数对多为6．
∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5， ②由题意，
抽取的总人数的最小值为3+4+5=12， 故答案为：6；12．
由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论． 本题主要考查分层抽样，属于基础题．
3
3
14.【答案】(?4,2)
【解析】解：∵数列{????}的前n项和????=(?1)??+12??， ∴??1=??1=(?1)2?=，
22??2=??2???1=(?1)3
?=?， 2224
1
1
3
1
1
3
1
1
1
31
又??2??=???2?????2???1=?22???22???1=?22??<0， ??2??+1=??2??+1???2??=22??+1+22??=22??+1>0，
由题意知数列{????}的奇数项为递减的等比数列且各项为正，
偶数项为递增的等比数列且各项为负，
∴不等式(???????)(???????+1)<0成立即存在正整数k使得??2??
故?4
??2??+1=??2??+1???2??=22??+1+22??=求出??2??=???2?????2???1=?22???22???1=?22??<0，
322??+1
1
1
3
1
1
31
3
1
31
3
11
1
3
>0，从而数列{????}的奇数项为递减的等比数列且各项为正，偶数项为递增的等比
数列且各项为负，进而不等式(???????)(???????+1)<0成立即存在正整数k使得??2??
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??2???1成立，只需要??2
本题考查实数的取值范围的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n项和与数列中的项的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
15.【答案】√6?? 4???1
【解析】解：如图，设球??1半径为??1，…，球????的半径为????，E为CD中点，球??1与平面ACD、BCD切于F、G，球??2与平面ACD切于H， 作截面ABE，设正四面体?????????的棱长为a，
由平面几何知识可得√3=
6
6??
??1??√6
?????13√3??2
，解
得??1=√??，
12同时√6
???2??1???23√6?????13
6
=??2，解得??2=√??，
1
??6
24
把??=6代入的??1=√，??2=√，
2
4
66
由平面几何知识可得数列{????}是以??1=
1√6
为首项，公比为2的等比数列， 2
612
所以????=√()???1，故球??1的体积
2
3
=3????1=3??(2)3=√6??；
√2球????的表面积=4??????=4??×[2(2)???1]2=4???1，
61
6??
4
4
√6
故答案为√6??；4???1
利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{????}是以??1=√为首项，公比
2为2的等比数列，代入计算即可
本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．
1
6
6??
16.【答案】②④⑤
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【解析】解：对①显然错误，如图
对②，点(0,1)均为两曲线的对称中心，且??(??)=????????+1能把圆一分为二，正
对③，函数为奇函数??(??)=??=1+??，当??→
???1???1
0(??>0)时，
??(??)→+∞，
当??→+∞时，??(??)→1，[??(??)>1]，函数递减； 当??→0(??<0)时，??(??)→?∞，
当??→?∞时，??(??)→?1，[??(??)
函数??(??)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线??=±1，??=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件． 对于④直线(??+1)???(2??+1)???1=0恒过定点(2,1)，满足题意． 对于⑤函数??(??)=????3?????为奇函数，与圆的交点恒坐标为(?1,1)， ??=????3?????∴{2， ??+??2=1
∴??2??6?2??2??4+(1+??2)??2?1=0，
令??=??2，得??2??3?2??2??2+(1+??2)???1=0， 即(???1)(??2??2???2??2+1)=0 得??=1即??=±1；
对??2??2???2??2+1，当??=0时显然无解，△<0即0
即??∈(?2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分． 若??=±2时，函数图象与圆有4个交点，
若??2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．
????+1
2
，
故所有正确的是②④⑤ 故答案为：②④⑤
利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．
本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力． 17.【答案】解
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∴??(??)的最大值为2，此时2???3=2+2????,??∈??，即??=(2)??(2??)=2??????(4???3)，
令??=4???3，∵??∈[0,4]，∴??∈[?3,
??
??
??2??
3
??
??
??
5??12
+????,??∈??;
]
??
??
设??1，??2是函数??=2???????????的两个相应零点，??1=4??1?3,??2=4??2?3， 由??=2????????图象性质知??1+??2=??，即4??1?3+4??2?3=??， ∴??1+??2=+,tan(??1+??2)=2+√3．
4
6??
??
??
??
【解析】本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想)，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用，利用三角公式化简函数??(??)=2??????(2???3). (1)结合正弦函数的性质，把2???3看成??=????????中的“x“分别求解
(2)代入可得??=2??????(4???3)，换元??=4???3，从而可得??=2????????，??∈[?3,
??
??
??2??
3
??
??
]，结
合正弦函数的图象可求．
(1)证明：????=????=【答案】解：在△??????中，18.
2，????=??=2√2， ∴????2+????2=????2，
∴∠??????=90°，即????⊥????， ∵????⊥????，且????∩????=??， ∴????⊥平面BCD；
(2)由(1)知，????⊥????，以O为坐标原点，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴
建立如图的空间直角坐标系?????????，
则??(0,0,0),??(0,?2√3,0),??(2,0,0),??(0,2√3,0)， ∵????⊥????，????⊥????，
∴∠??????为二面角??????????的平面角， ∴∠??????=120°，
?????? =(1,2√3,?√3),????????? =(?1,2√3,√3)，????????? =(2,2√3,0)， ∴??(?1,0,√3),????
? ?????? ??????=2??+2√3??=0
? =(??,??,??)，? =设平面ABC的一个法向量为??则{，可取??
? ?????? ??????=???+2√3??+√3??=0(1,?
√3
,√3)， 3
?????? ???|?????? |
44√
=设直线AD与平面ABC所成角为??，则????????=|?????????? ||???? |=√13， 133
3
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∴????????=√1?sin2??=√13,????????=cos??=
10????????
√30． 10
【解析】(1)由勾股定理可得????⊥????，又????⊥????，即可证得????⊥平面BCD；
(2)建立空间直角坐标系，求出直线AD的方向向量以及平面ABC的法向量，利用向量公式即可求得正切值．
本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理能力，属于常规题目．
19.【答案】解：(1)设??(??,??)，则??(??,2)，由题意可得当P在直径AB上运动时，
显然??=0(?1
??24
??
??
=1(??≥0)；
(2)设曲线上两动点??(??,??)，??(??0,??0)，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，
不妨设??≥??0≥0，则|????|2=(?????0)2+(?????0)2≤(?????0)2+??2=(?????0)2+4(1???2)，
2
∵(?????0)2+4(1???2)=?3??2?2??0??+??0+4=?3(??+
??02
)3
+
24??0
3
+4≤3+4=
4163
，
∴|????|2≤
163
，
4√214√21
,)，??(?1,0)或??(?,)，??(1,0)， 3333
4√33
等号成立时，??(
由两点的距离公式可得|????|??????=故曲线C的“直径”为
4√3． 3
，
【解析】(1)设??(??,??)，则??(??,2)，分别讨论P在直径AB上时，以及P在半圆O上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；
(2)设曲线上两动点??(??,??)，??(??0,??0)，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设??≥??0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．
本题考查曲线的方程的求法和运用，考查坐标转移法和转化思想、以及二次函数的最值求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)今年8月份，这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件， ??(??=2000)=
4+1490
??
=0.2，??(??=3500)=90=0.4，??(??=5000)= 2000 0.2 3500 0.4 3621+1590
=0.4，
于是X的分布列为： X P 5000 0.4 X的数学期望为??(??)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800． (2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤??≤5000，
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2024年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)
