定积分的应用

定积分的应用

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。

1 定积分的概念的提出

问题的提出

曲边梯形的面积

（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线x?a、，x轴及连续曲线y?f(x)x?b（a?b）（

y=f(x) y f(x)?0）所围成的图形。其中x轴上区间

[a,b]称为底边，曲线y?f(x)称为曲边。

不妨假定f(x)?0，

下面来求曲边梯形的面积。由于f(x)?cO a b x 图1-1

（x?[a,b]）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点x1,x2?[a,b] ，x2?x1很小时，f(x1)，f(x2)间的图形变化不大，即点

x1、点x2处高度差别不大。于是可用如下方法求

y 曲边梯形的面积。

x?xn?1x?x2，（1） 分割 用直线x?x1，

y=f(x) （a?x1?x2???xn?1?b）将整个曲边梯形任意分割成n个小曲边梯形，区间上分点为：

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

1 i O a=x0 x1 x2 xi-1 xi xn-1 xn =b x 这里取a?x0，b?xn。区间[a,b]被分割成n个小

图1-2

区间[xi?1,xi]，用?xi表示小区间[xi?1,xi]的长度，?Si表示第i块曲边梯形的面积，

(i?1,2,?,n)，整个曲边梯形的面积S等于n个小曲边梯形的面积之和，即

S???Si

i?1n（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度?xi很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i，用以[xi?1,xi]为底，f(?i)为高的小矩形面积f(?i)?xi，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即

?Si?f(?i)?xi.

（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n个小矩形面积之和，即

S??S1??S2????Sn

?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn??f(?)?x

iii?1n上式由于分割不同，?i选取不同是不一样的，即近似值与分割及?i选取有关（图1－2）。

（4）取极限 将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式?f(?i)?xi的极限就定

i?1n义为曲边梯形面积的精确值。

令 ??max{?x1,?x2,?,?xn}，当??0时，有

S?lim?f(?i)?xi

??0i?1n上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近。在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景。

定积分的定义

设函数y?f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b

把[a,b]分成n个小区间：

[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],?,[xi?1,xi],?,[xn?1,xn]

各个小区间的长度依次为：?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,…, ?xn?xn?xn?1

在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(xi?1??i?xi)，作函数值与小区间长度?xi的乘积

f(?i)?xi。并作和

S??f(?i)?xi

i?1n记??max{?x1,?x2,?,?xn}，如果不论对[a,b]怎样分割，也不管在小区间[xi?1,xi]上点

?i（i?1,2,?,n）怎样取法，只要当??0时，和S总是趋于确定的极限I，我们称这个极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分（简称为积分），记作?f(x)dx，即

ab?baf(x)dx?I?lim?f(?i)?xi （1）

??0i?1n其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，a称为积分下限，b称为积分上限，

x称为积分变量，

?f(?)?xii?1ni称为积分和。

（1） 曲边梯形的面积是曲边方程y?f(x)在区间[a,b]上的定积分。即

S??baf(x)dx(f(x)?0)

2定积分在几何学上的应用

定积分在平面几何中的应用

在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件。

一般地，由上、下两条连续曲线y=f2 (x)与y=f1 (x)以及两条直线x=a与x=b(a

ab

例 求由抛物线y2?x与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示，先求出 直线与抛物线交点P(1,-1)

与Q(9,3).用

X=1把图形分成左，右两部分，应用公式 （1） 分别求得它们的面积为

A1?11Q

?0[x?(-x)]dx?2?0xdx?4/3,

A2??91(x?x?328. )dx?23p

图2-1

A=A1+A2=32/3。 定积分在立体几何中的应用 由截面面积函数求立方体体积

设?为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与 x=b之间（a

abx2y2z2例 求由椭球面2?2?2?1所围立体（椭球）的体积。

abc解 以平面x?x0(x0?a)截椭球面，得椭圆（它在yoz平面上的正投影）：

y2b2(1?x0)2a2?z2c2(1?x0)2a2?1。

x2所以截面面积函数为A(x)=?bc(1?2),x?[-a,a].

a于是求得椭球体积

x24V=??bc(1?2)dx??abc。

aa3b4显然，当a=b=c=r时，这就等于球的体积?r3。

3旋转曲面的面积

设平面光滑曲线C的方程为y=f(x),x?[a,b](不妨设f(x)>=0).这段曲线绕x轴旋转

一周得到旋转曲面，则面积公式s=2??baf(x)1?f'2(x)dx。

如果光滑曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t?[?,?]给出，且y(t)?0,那么由弧微分知识推知曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2????y(t)x'2(t)?y'(t)dt.

例 计算圆x2+y2=R2在[x1,x2]?[-R,R]上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积。 解 对曲线y=R2?x2在区间[x1,x2]上应用公式（3），得到 S=2??x2x1R?x22x2特别当x1=-R, x2=R时，则得1?2dx=2?R(x2?x1)。2R?x球的表面积S球=4?R2.

3定积分在经济学中的应用

求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分：

R(b)?R(a)??R?(x)dx （1）

abC(b)?C(a)??C?(x)dx （2）

abL(b)?L(a)??L?(x)dx （3）

ab例 已知某商品边际收入为?0.08x?25（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x)，总成本C(x)，利润I(x)的改变量（增量）。

解 首先求边际利润

L?(x)?R?(x)?C?(x)??0.08x?25?5??0.08x?20

所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：

R(300)?R(250)??300250R?(x)dx??300250300250(?0.08x?25)dx=15

300250C(300)?C(250)??C?(x)dx??dx=250万元

L(300)?L(250)??300250L?(x)dx??300250(?0.08x?20)dx=?100万元

例 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本C的变化率（即边际成本）是日