上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:高等代数
1.(10分)设P为数域。f?x?,g?x??P?x?令F?X??x2?1f?x??x2?x?1g?x?; G?x??xf?x???x?1?g?x?。证明:若f?x?与g?x?互素,则F?x?与G?x?也必互素。2.(10分)设J为元素全为1的阶方阵。 (1) 求J的特征多项式与最小多项式;
(2) 设f?x?为复数域上多项式。证明f?J?必相似于对角阵。 3.(10分)
(1) 设n阶实对称矩阵A?xij,其中xij?aiaj?1且a1?a2?...?an?0,求
A的n个特征值。
(2) 设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零,证明:A?E?1。此处
E为n阶单位阵。
4(10分)设f?x?是数域F上的二次多项式,在F内有互异的根x1,x2,设A是F上线性空间L的一个线性变换且A?x1I,A?x2I(I为单位变换)且满足f?A??0,证明x1,x2为A的特征值;且L可以分解为A的属于x1,x2的特征子空间的直和。 5(10分)用正交线性变换将下列二次型化为标准形,并给出所施行的正交变换:
222 x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
??????6(10分)对的不同取值,讨论下面方程组的可解性并求解:
7(10分)假设A为m?n实矩阵,B为n?1实矩阵,A表示A的转置矩阵。证明: (1) AB=0的充要条件是AAB?0; (2) 矩阵AA与矩阵A有相同的秩。
8(10分)设A1,A2,...,Ap均为n阶矩阵且A1A2...Ap?0。证明这p个矩阵的秩之和小于等于?p?1?n,并举例说明等式可以达到。
9(10分)证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。
10(10分)设W为欧氏空间V的一个子空间。b?V,a?W证明若对任意a?W,
TTTb?a?b?a
则b?a?W
上海交通大学
2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:高等代数
?100???100A?2?101(15分)设??,求A.
?121???2(15分)以P数
而
且
2?2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1,a2,a3,a4为两两互异的
们
的
和
不
等
于
零
。
试
证
明
他
?1A1???a2?1的一组基。
a1??1A??,2?4??a2a1??2a2??1??A?4?,3?a2a2??3a3??1??A?4?,4?a2a3??4a4??4?是P上线性空间a4?3(15分)证明:阶实对称矩阵A的秩为r,?r?n?,当且仅当A可以写成A?CbC,
T其中B为n?r阶满秩矩阵,C为r阶可逆实对称阵。 4(15
分)假设
f0x4?xf1x10?x2f2x15?x3f3x20?x4f4x25??????????被
x4?x3?x2?x?1整除。证明:fi?x?,?i?0,1,2,3,4?被x?1整除。
5(15分)设A为阶反对称实矩阵,B?diag?a1,a2,...,an?,其中ai?0,证明
A?B?0。
6(15分)n阶方阵A满足等式A?A,当且仅当n?r?A??r?E?A?。
27(20分)设A,B都是n阶实方阵,并设?为BA的非零特征值;以V?BA表示BA关
?也是AB的特征值;于?的特征子空间。(1)证明:(1)证明:维数V? ??=维数?V?。
BAAB?8(20分)设A,B都是n阶正定方阵。试证明:AB的特征值为实数。 9(20分)记V?Pn?n,P为数域。假设A?V有特征值?i?i?1,2,...,n?,但
T试证明:V的变换?:X?XA?AX为同构。 ??i?i?1,2,...n,?均不是A的特征值。
上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称:数学分析
一 选择题(每题3分,共15分)
1???xsin1.设f?x???x??0A.??0
B.??1 C.0???1 D.1???2
x?0x?0在x?0处连续但不可导,则?满足不等式
2.若f?x??R?a,b?,则下列结论正确的是 A.f?x??C?a,b?
B.f?x?在?a,b?内的任一子区间内至少有一个连续点; C.f?x?可能在?a,b?上每一点都不连续; D.f?x?可能在?a,b?上所有无理点处都不连续。
3.若曲线y?2x?ax?b与2y?xy?1在点?1,?1?处相切,则系数a,b的值为
23A.??a??3
?b?0B.??a??5 b?2?C.??a??3
?b?2?a?1
b??2?D.?
4.二次积分
?dx?f?x,y?dy的另一积分次序为
0x21x
上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.
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