上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：高等代数
1．（10分）设P为数域。f?x?,g?x??P?x?令F?X??x2?1f?x??x2?x?1g?x?； G?x??xf?x???x?1?g?x?。证明：若f?x?与g?x?互素，则F?x?与G?x?也必互素。2．（10分）设J为元素全为1的阶方阵。 （1） 求J的特征多项式与最小多项式；
（2） 设f?x?为复数域上多项式。证明f?J?必相似于对角阵。 3．（10分）
（1） 设n阶实对称矩阵A?xij，其中xij?aiaj?1且a1?a2?...?an?0，求
A的n个特征值。
（2） 设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零，证明：A?E?1。此处
E为n阶单位阵。
4（10分）设f?x?是数域F上的二次多项式，在F内有互异的根x1,x2，设A是F上线性空间L的一个线性变换且A?x1I，A?x2I（I为单位变换）且满足f?A??0，证明x1,x2为A的特征值；且L可以分解为A的属于x1,x2的特征子空间的直和。 5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：
222 x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
??????6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：
7（10分）假设A为m?n实矩阵，B为n?1实矩阵，A表示A的转置矩阵。证明： （1） AB=0的充要条件是AAB?0； （2） 矩阵AA与矩阵A有相同的秩。
8（10分）设A1,A2,...,Ap均为n阶矩阵且A1A2...Ap?0。证明这p个矩阵的秩之和小于等于?p?1?n，并举例说明等式可以达到。
9（10分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。
10（10分）设W为欧氏空间V的一个子空间。b?V,a?W证明若对任意a?W，
TTTb?a?b?a
则b?a?W
上海交通大学
2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：高等代数
?100???100A?2?101（15分）设??，求A.
?121???2（15分）以P数
而
且
2?2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1,a2,a3,a4为两两互异的
们
的
和
不
等
于
零
。
试
证
明
他
?1A1???a2?1的一组基。
a1??1A??,2?4??a2a1??2a2??1??A?4?,3?a2a2??3a3??1??A?4?,4?a2a3??4a4??4?是P上线性空间a4?3（15分）证明：阶实对称矩阵A的秩为r,?r?n?，当且仅当A可以写成A?CbC，
T其中B为n?r阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称阵。 4（15
分）假设
f0x4?xf1x10?x2f2x15?x3f3x20?x4f4x25??????????被
x4?x3?x2?x?1整除。证明：fi?x?,?i?0,1,2,3,4?被x?1整除。
5（15分）设A为阶反对称实矩阵，B?diag?a1,a2,...,an?,其中ai?0，证明
A?B?0。
6（15分）n阶方阵A满足等式A?A，当且仅当n?r?A??r?E?A?。
27（20分）设A，B都是n阶实方阵，并设?为BA的非零特征值；以V?BA表示BA关
?也是AB的特征值；于?的特征子空间。（1）证明：（1）证明：维数V? ??=维数?V?。
BAAB?8（20分）设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。 9（20分）记V?Pn?n，P为数域。假设A?V有特征值?i?i?1,2,...,n?，但
T试证明：V的变换?:X?XA?AX为同构。 ??i?i?1,2,...n,?均不是A的特征值。
上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：数学分析
一 选择题（每题3分，共15分）
1???xsin1．设f?x???x??0A．??0
B．??1 C．0???1 D．1???2
x?0x?0在x?0处连续但不可导，则?满足不等式
2．若f?x??R?a,b?，则下列结论正确的是 A．f?x??C?a,b?
B．f?x?在?a,b?内的任一子区间内至少有一个连续点； C．f?x?可能在?a,b?上每一点都不连续； D．f?x?可能在?a,b?上所有无理点处都不连续。
3．若曲线y?2x?ax?b与2y?xy?1在点?1,?1?处相切，则系数a,b的值为
23A．??a??3
?b?0B．??a??5 b?2?C．??a??3
?b?2?a?1
b??2?D．?
4．二次积分
?dx?f?x,y?dy的另一积分次序为
0x21x
上海交大高等代数+数学分析历届考研真题.
