高数下册内容总结 - 图文 

第二学期总复习

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向量代数与空间解析几何

（一）向量代数（二）空间解析几何

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（一）向量代数

1、向量的概念

G模：|a|=

2

2

设

2

G

a={x,y,z}=xi+yj+zk

x+y+z

GG0a

单位向量：a=G={cosα,cosβ,cosγ}|a|

方向余弦：x

cosα=222

x+y+z

z

cosγ=222

x+y+z

cosβ=

2

y222x+y+z

2

2

cosα+cosβ+cosγ=1

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2、向量的运算

GGG

设a={a1,a2,a3}b={b1,b2,b3}c={c1,c2,c3}GG

加法：a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}G

数乘：λa={λa1,λa2,λa3}GGGGGG

点乘：a?b=|a||b|cosa,b=a1b1+a2b2+a3b3

GGGGGG

叉乘：模：|a×b|=|a||b|sina,b

GGGGGG

方向：垂直于a,b,并且a,b,a×b成右手系

GGGijkGG坐标表示：a×b=a1a2a3

b1b2b3

几何意义：

GGGG

|a×b|表示以a,b为邻边的平行四边形的面积。

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GGGGGG混合积：(a,b,c)=(a×b)?c=b1

c1

a1a2b2

c2

a3b3c3

几何意义：GGGGGG

(a,b,c)表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积。

GGGGGGGGGGGGGGG

(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b),(a,b,c)=?(b,a,c)GGa⊥b

GGa//b

GGa?b=0GGa×b=0

GGG

a,b,c共面GGG(a,b,c)=0

a1b1+a2b2+a3b3=0a1a2a3==b1b2b3

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（二）空间解析几何

1、平面[1] 点法式[2] 一般式

A(x?x0)+B(y?y0)+C(z?z0)=0

xyz

[3] 平面的截距式方程++=1

abc

2、空间直线

?A1x+B1y+C1z+D1=0

[1] 一般方程L:?

?A2x+B2y+C2z+D2=0

Ax+By+Cz+D=0

x?x0y?y0z?z0

[2] 对称式方程==

mnp?x=x0+mt?[3] 参数方程?y=y+nt0

?z=z+pt?0

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3、过直线的平面束

?π1：A1x+B1y+C1z+D1=0

过直线L:?

?π2：A2x+B2y+C2z+D2=0

的平面束方程为： A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

注意：不包括π2这个平面.

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4、距离

两点间距离公式:

M1M2=

(x2?x1)+(y2?y1)+(z2?z1)2

2

2

点到平面距离公式

点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为|Ax0+By0+Cz0+D|

.d=222

A+B+C

点到直线的距离公式

x?x1y?y1z?z1点M0(x0,y0,z0)到直线L:==

mnp

的距离为

M0M1×sd=

s

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异面直线之间的距离公式已知两直线则

L1:过点P1，方向向量为v1;

L2:过点P2，方向向量为v2;

GG

L1与L2共面?P1P2?(v1×v2)=0

GG

L1与L2异面?P1P2?(v1×v2)≠0

若L1与L2异面，则它们之间的距离为

GG

|P1P2?(v1×v2)|d=GG|v1×v2|

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GGa?bGG

两向量之间的夹角cosa,b=GG|a||b|

GG|n1?n2|

两平面之间的夹角cosΠ1,Π2=GG|n1||n2|GG|v1?v2|

两直线之间的夹角cosL1,L2=G|v1||v2|

GG|v?n|

直线与平面之间的夹角sinL,Π=GG|v||n|

5、夹角

GΠ1:n1

GΠ2:n2

GL1:v1

GL2:v2

GL:v

GΠ:n

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6、二次曲面

[1] 柱面

?F(x,y)=0

母线平行于z轴，准线为：? 的柱面方?z=0

程为：F(x,y)=0 [2] 旋转曲面

?F(x,y)=0

曲线L:?绕x轴旋转一周所成的旋转

?z=0曲面方程为：F(x,±y+z)=0

2

2

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[3] 二次曲面

2222

（1）球面(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)=Rxyz222

（2）椭球面

a2（3）单叶双曲面（4）双叶双曲面（5）椭圆抛物面（6）双曲抛物面（7）二次锥面

+b2+c

2=1x222

a2+yz

2?2=1x2b2c2a2+yzx2b2?y2c

2=?1a2+2=zx2b2a2?yb2=zx2y2z2a2+b2=c

2机动

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7、空间曲线在坐标面上的投影

?F(x,y,z)=0

设空间曲线的一般方程：?

?G(x,y,z)=0

消去变量z 后得：

H(x,y)=0

曲线关于xoy的投影柱面

空间曲线在xoy面上的投影曲线

?H(x,y)=0?

?z=0

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多元函数微分学

（一）极限与连续（二）偏导数和全微分（三）方向导数和梯度（四）极值（五）几何应用

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（一）极限定义的说明

1、limf(x,y)=A存在是指：(x,y)沿任何路x→x0y→y0

径趋于(x0,y0)时，函数的极限都存在。 2、求二元函数极限的方法： （1）利用定义及性质（夹逼准则；无穷小量乘有界变量仍为无穷小量）； （2）利用一元函数的两个特殊极限及等价无穷小代换； （3）利用极坐标变换化成一元函数的极限。 机动

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3、确定极限不存在的方法： （1）找两条不同路径，使(x,y)沿这两条路径趋向于(x0,y0)时，f(x,y)的极限都存在，但不相等； （2）找一条特殊路径，使(x,y)沿此路径趋向于(x0,y0)时，f(x,y)的极限不存在。 机动目录上页下页返回结束

（二）多元函数连续、可导、可微的关系

函数连续函数可导函数可微方向导数存在偏导数连续机动目录上页下页返回结束

1、全微分定义:设z=f(x,y)

Δz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy+o(ρ)

ρ=(Δx)+(Δy)

22

dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy

证明二元函数不可微的方法

要证明z=f(x,y)在(x0,y0)不可微，只需求极限： Δx→0Δy→0

lim

Δz?fx(x0,y0)Δx?fy(x0,y0)Δy

Δx+Δy

2

2

若此极限存在且等于0，则z=f(x,y)在(x0,y0)可微，否则z=f(x,y)在(x0,y0)不可微，其中 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)?f(x0,y0) 机动

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2、求偏导数

1、复合函数微分法（链式法则）2、隐函数微分法（公式）3、利用全微分求偏导数

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3、方向导数和梯度

（1）方向导数：u=f(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)沿 G

l={cosα,cosβ,cosγ}的方向导数为： ?f?f?f?fG=cosα+cosβ+

?z?lM0?xM0?yM0

cosγM0

（2）梯度：u=f(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)的梯度为：??f?f?f?

graduM0=?,,?

??x?y?z?M0

函数沿梯度方向的方向导数最大，其模为方向导数的最大值.

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（三）多元函数微分法的应用

1、在几何中的应用

求曲线的切线及法平面(关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线(关键: 抓住法向量) 空间曲线的切线与法平面

(1)Γ:

x=x(t),y=y(t),z=z(t).

切向量

τ=±{x′(t),y′(t),z′(t)}切向量τ=±Fx

Gx

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G

?F(x,y,z)=0

(2)Γ:?,

?G(x,y,z)=0

G

ijFyGy

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kFzGz

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曲面的切平面与法线

(1)π:F(x,y,z)=0.

法向量nG

=±{Fx,Fy,Fz}?x=x(u,v)(2)π:?

?y=y(u,v)

??

z=z(u,v)i

jk法向量nK

=±xu

yuzuxv

yv

zv

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2、极值

1、必要条件：极值点是稳定点。

2、充分条件：若z=f(x,y),fx(x0,y0)=0,

fy(x0,y0)=0,令：fxx(x0,y0)=A,

fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： （1）AC?B>0时有极值， 2

当A<0时有极大值， 当A>0时有极小值； （2）AC?B<0时没有极值； 22

（3）AC?B=0时可能有极值. 机动目录上页下页返回结束

3、求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步： 解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0

第二步：对于每一个驻点第三步：定出求出实数解，得驻点. (x0,y0)， 求出二阶偏导数的值A、B、C. AC?B2

的符号， 再判定是否是极值. 机动目录上页下页返回结束

4、求条件极值的一般步骤： 目标函数：u=f(x,y,z)，约束条件：?(x,y,z)=0 （1）构造函数 F(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λ?(x,y,z)， （2）解方程 Fx=0 ，Fy=0，Fz=0，Fλ=0 解出x,y,z,λ，其中x,y,z就是可能的极值点的坐标（即条件极值的稳定点）。 （3）判定此稳定点是否为条件极值的极值点。机动

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重积分

（一）二重积分（二）三重积分（三）重积分的应用

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（一）二重积分

1、二重积分的概念：二重积分的定义：

和式的极限

几何意义：曲顶柱体的体积 V=∫∫f(x,y)dσ D

物理意义：平面薄片的质量 m=∫∫μ(x,y)dσ D

二重积分的性质：

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关于二重积分的奇偶对称性：1.如果D 关于y 轴对称，则

(1)若f (x , y) 关于x 是奇函数，则

(2)若f (x , y) 关于x 是偶函数，则

2. 如果D 关于x 轴对称，则

(1)若f (x , y) 关于y 是奇函数，则

(2)若f (x , y) 关于y 是偶函数，则

I = 0；

D1

I=2∫∫f(x,y)dxdy

I=2∫∫f(x,y)dxdy

D1

I = 0；

轮换对称性：若平面有界闭区域D 关于直线y = x

对称，则f(x,y)dσ=f(y,x)dσ∫∫∫∫

D

D

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结束

2、二重积分的计算

（1）二重积分在直角坐标下的计算公式

b

∫∫

D

f(x,y)dσ=

∫

a

dx∫

d

?2(x)

?1(x)

f(x,y)dy.

［X－型］

∫∫

D

f(x,y)dσ=

∫

c

dy∫

?2(y)

?1(y)

f(x,y)dx.［Y－型］

（在积分中要正确选择积分次序）

（2）二重积分在极坐标系下的计算公式

∫∫

D

f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ.

D

注意利用对称性化简计算

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（二）三重积分

1、三重积分的概念三重积分的定义：三重积分的性质：

和式的极限

的体积； dv=Ω∫∫∫

Ω

奇偶对称性：若空间区域Ω被xoy平面（或 yoz平面 ，zox平面）分成对称的两块 Ω1，Ω2。 （i）若f(x,y,z)关于z(或 x，或 y)是偶函数，则： （ii）若f(x,y,z)关于z(或 x，或 y)是奇函数，则： ∫∫∫Ω

f(x,y,z)dv=2∫∫∫f(x,y,z)dv=2∫∫∫f(x,y,z)dv

Ω1

Ω2

∫∫∫Ω

f(x,y,z)dv=0

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轮换对称性：若空间区域Ω关于直线x=y=z 对

称，那么被积函数f ( x, y, z) 中的变量x, y, z 无论

怎样互换，积分值不会改变。即

∫∫∫Ω

Ω

f(x,y,z)dv=∫∫∫f(y,x,z)dv

Ω

=∫∫∫f(y,z,x)dv=∫∫∫f(x,z,y)dv

Ω

=\\

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2、三重积分的计算方法

（1）三重积分在直角坐标下的计算公式方法1：“先单后重”

∫∫∫Ω∫∫∫Ω

f(x,y,z)dv=∫∫Ddxdy∫z(x,y)f(x,y,z)dz

1

z2(x,y)

方法2：“先重后单”

f(x,y,z)dv=∫dz∫∫

ab

DZ

f(x,y,z)dxdy

注意利用对称性化简计算

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（2）三重积分在柱坐标下的计算公式

∫∫∫Ω

f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθdz.

Ω

（3）三重积分在直角坐标下的计算公式

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=

Ω

f(rsin?cosθ,rsin?sinθ,rcos?)r∫∫∫Ω

2

sin?drd?dθ机动目录上页下页返回结束

(三)、重积分计算的基本方法小结

1. 选择合适的坐标系；2. 选择易计算的积分次序；3. 掌握确定积分限的方法：

图示法列不等式法

4. 利用奇偶对称性和轮换对称性简化计算；5. 利用重心公式简化计算；6. 消去被积函数绝对值符号7. 利用重积分换元公式

分块积分法利用对称性

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（四）重积分的应用

(1) 曲顶主体的体积V=∫∫f(x,y)dxdy.

D

(2) 平面区域的面积S=∫∫dxdy.

D

(3) 空间区域的体积V=∫∫∫dxdydz

Ω

(4) 曲面面积S:z=f(x,y)

2

2

S的面积为

A=

∫∫D

xy

??z???z?

1+??+??dxdy;??x???y?

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(5) 重心

平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则重心为： x=

(,)xρxydσ∫∫

D(,)ρxydσ∫∫

D

,y=

(,)yρxydσ∫∫

D(,)ρxydσ∫∫

D

.

空间物体Ω的密度为ρ(x,y,z)，则重心为：1

x=xρdv,∫∫∫MΩ1z=zρdv.∫∫∫MΩ

1

y=yρdv,∫∫∫MΩ

其中M=∫∫∫ρdv.

Ω

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结束

(6) 转动惯量

平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则它对于 x轴、y轴和原点的转动惯量分别为： Ix=∫∫yρ(x,y)dσ,

2D

Iy=∫∫xρ(x,y)dσ.

2D

I0=∫∫(x+y)ρ(x,y)dσ.

D

22

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空间物体Ω体密度为ρ(x,y,z)，则该物体对坐标轴及原点的转动惯量为 Ix=∫∫∫(y+z)ρ(x,y,z)dv,

Ω

2

2

Iy=∫∫∫(z+x)ρ(x,y,z)dv,

Ω

22

Iz=∫∫∫(x+y)ρ(x,y,z)dv,

Ω

22

Io=∫∫∫(x+y+z)ρ(x,y,z)dv.

Ω

222

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(7) 引力

物体占有空间区域 Ω，体密度ρ(x,y,z)，区域 Ω外有一质量为 m0的质点P0(x0,y0,z0)，则物体对质点P0的引力为: F={Fx,Fy,Fz}

km0ρ(x,y,z)(x?x0)

Fx=∫∫∫dV3

rΩ

km0ρ(x,y,z)(y?y0)

Fy=∫∫∫dV3

rΩ

km0ρ(x,y,z)(z?z0)

dVFz=∫∫∫3

rΩ

其中：k为引力常数，r=(x?x0)+(y?y0)+(z?z0)

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222

结束

曲线积分与曲面积分

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（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步

曲线积分

第一类曲线积分

定义联系计

第二类曲线积分

∫

L

f(x ,y)ds=lim∑f(ξi,ηi)Δsi

λ→0

i=1

n

∫

=lim∑[P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi]

λ→0

i=1

L

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

n

∫LPdx+Qdy=∫L(Pcosα+Qcosβ)ds

∫LPdx+Qdy

=∫[P(?,ψ)?′+Q(?,ψ)ψ′]dt

αβ

∫

L

f(x,y)ds

βα

22

′′f[?,ψ]?+ψdt

算与方向无关

=∫

(α<β)

与方向有关

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结束

（一）第一类曲线积分的计算

?x=?(t),

1、L的参数方程为?(α≤t≤β)，则

?y=ψ(t),

∫L

f(x,y)ds=∫f[?(t),ψ(t)]?′(t)+ψ′(t)dt，(α<β)

2

2

βα2、L 的直角坐标方程

y=y(x)(a≤x≤b),

2

∫L

f(x,y)ds=∫af(x,y(x))1+y′(x)dx

b

3、L 的极坐标方程为：r=r(θ),α≤θ≤β，则

β22

′f[r(θ)cosθ,r(θ)sinθ]r(θ)r(θ)dθ=+f(x,y)ds∫∫

L

α机动目录上页下页返回结束

4、L 为空间曲线

L:x=?(t),y=ψ(t),z=ω(t).(α≤t≤β)

∫Γ

βαf(x,y,z)ds

2

2

2

=∫f[?(t),ψ(t),ω(t)]?′(t)+ψ′(t)+ω′(t)dt

(α<β)

?F(x,y,z)=0

5、 若曲线L的方程为：?，则需化成参数?G(x,y,z)=0

方程，再进一步用公式求。 机动目录上页下页返回结束

（二）第二类曲线积分的计算

1、对有向光滑弧

?x=?(t)L:?,t:a→b?y=ψ(t)

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dyb

′(t)}dt=∫{P[?(t),ψ(t)] ?′(t)+Q[?(t),ψ(t)]ψ

a

2、对有向光滑弧L:y=?(x),x:a→b

∫L

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

?′(x)}dx=∫{P[x,?(x)]+Q[x,?(x)]

a

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b

3、若曲线L 的方程为极坐标方程：r=r(θ),θ:α→

=θθxr()cos?先化成参数方程：?,θ:α→β?y=r(θ)sinθ然后用公式计算。

?F(x,y,z)=0

4、 若曲线L的方程为：?，则需化成参数?G(x,y,z)=0

方程，再进一步用公式求。 x=φ(t)

5、对空间有向光滑弧Γ:y=ψ(t),t:a→b

z=ω(t)

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz∫

Γb

β=∫{P[?(t),ψ(t),ω(t)]?′(t)+Q[?(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)a

+R[?(t),ψ(t),ω(t)]ω′(t)}dt

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结束

曲面积分

对面积的曲面积分定义联系计算

n

对坐标的曲面积分

n

Σ

f(x,y,z)ds=lim∑f(ξi,ηi,ζi)Δsi∫∫R(x,y,z)dxdy=lim∑R(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy∫∫λ→0λ→0i=1Σi=1

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS∫∫Σ

Σ

f(x,y,z)ds∫∫Σ

=∫∫f[x,y,z(x,y)]1+z+zdxdy

Dxy

2x2y

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∫∫Σ

=±∫∫{P[x,y,z(x,y)]?(?zx)

D

+Q[x,y,z(x,y)](?zy)

xy

+R[x,y,z(x,y)]?1}dxdy

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（三）第一类曲面积分的计算

1.若曲面Σ:z=z(x,y)，则

∫∫Σ

∫∫Σ

∫∫

Σ

f(x,y,z)dS=

∫∫D

∫∫

f[x,y,z(x,y)]1+z′x+z′ydxdy;

22

xy

2.若曲面Σ：y=y(x,z)，则

f(x,y,z)dS=

f[x,y(x,z),z]1+y′x+y′zdxdz;

22

Dxz

3.若曲面Σ：x=x(y,z)，则

f(x,y,z)dS=

∫∫D

f[x(y,z),y,z]1+x′y+x′zdydz.

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结束

22

yz

（四）第二类曲面积分的计算

1、若 Σ的方程为：z=z(x,y)，(x,y)∈Dxy，则 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∫∫Σ

=±∫∫{P[x,y,z(x,y)]?(?zx)+Q[x,y,z(x,y)](?zy)

Dxy

+R[x,y,z(x,y)]?1}dxdy

其中：若Σ取上侧，取正号，Σ取下侧，取负号。

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2、若 Σ的方程为：x=x(y,z)，(y,z)∈Dyz，则Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∫∫Σ

=±∫∫{P[x(y,z),y,z]?1+Q[x(y,z),y,z](?xy)

Dyz

+R[x(y,z),y,z](?xz)}dydz

其中：若Σ取前侧，取正号，Σ取后侧，取负号。

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3、若 Σ的方程为：y=y(z,x)，(z,x)∈Dzx，则Pdydz+Qdzdx+Rdxdy∫∫

Σ

=±∫∫{P[x,y(z,x),z](?yx)+Q[x,y(z,x),z]?1

Dzx

+R[x,y(z,x),z](?yz)}dzdx

其中：若Σ取右侧，取正号，Σ取左侧，取负号。

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