新初三暑假数学衔接导学案
1.1 圆的有关概念
问题1 观察下列图形，你能从中找出它们的共同特征吗？ 问题2 观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 探究新知
圆的定义：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。
圆心：固定的端点叫作圆心。半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径。 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆。 问题3 观察下列图形，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？ 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作 “圆弧AB”或“弧 AB”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的弧ABC； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的弧AB。 应用新知
第 1 页
CBAO例1：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？ 分析：如图，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定。 例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上？如果不在，说明理由；如果存在，指出这个圆的圆心和半径。
解：如图，连接AC、BD交与点O，在矩形ABCD中， ∵OA=OC=AC ，OB=OD=BD，AC=BD ， ∴OA=OB=OC=OD ，
∴A、B、C、D者这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上 。 巩固新知
练习1 在以下所给的命题中，是真命题的有（ ）。 ① 直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆； ④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧。
练习2 确定一个圆的要素有两个，即_______和_______；______决定圆的位置，_______决定圆的大小。
练习3 以O 为圆心可以画多少个圆？以2cm为半径可以画多少个圆？以O为圆心，2cm为半径可以画多少个圆？
练习4 如何在操场上画一个半径是5 m的圆？说出你的理由。
1212第 2 页
分析：根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈。B所经过的路径就是所要的圆。 练习5 从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23 cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？ 答案：树干的半径是23÷2＝11.5（cm）。 平均每年半径增加11.5÷20＝0.575（cm）。
1.2 垂径定理
问题引入
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试。
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？
追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37。4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m） 问题3 通过前面圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？ 结论：
第 3 页
的折纸我们知道
（1）圆是轴对称图形；
（2）经过圆心的每条直线（不是直径）都是它的对称轴； （3）圆的对称轴有无数条。
问题4 如图 ：AA’是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA’，垂足M。 （1） ⊙O是轴对称图形，CD是它的对称轴吗？ （2）△AOA’也是轴对称图形吗？CD也是它的对称轴吗？ （3）你能找出图中有哪些相等的线段和相等的弧？请说明理由。 （4）你能文字语言叙述你发现的这些结论吗？
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （5）你能用几何方法证明这些结论吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AA’是弦，CD⊥AA’，垂足M。 求证：AM=MA’，弧AD=弧A’D，弧AC=弧A’C。
问题5 如上图，若直径CD平分弦，则直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？
已知：在⊙O中，CD是直径，AA’是弦，AM=MA’。 求证：CD⊥AA’，弧AD=弧A’D，弧AC=弧A’C。 探究新知
圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。
过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。由圆的轴对称性易得垂径定理： 直径AB所在的直线是线段CD的中垂线。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并平分弦所对的两条弧 如图所示：
若AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E则CE＝ED BC＝BD AC＝AD 推论：
第 4 页
????平分弦（不是直径）的直径垂直于该弦，且平分该弦所对的两条弧。 事实上：在垂径定理中，对于条件：①直径②弦与直径垂直③直径平分弦④直径平分弦所对的劣弧⑤直径平分弦所对的优弧这五条中，知道其中任意两条便可推出其余三条。
垂径定理的应用相当广泛，主要表现在以下三方面： ①计算功能：
如图：构造以半径R、弦AB（a）和弦心距OE（d）的直角三角形
分析：在Rt△AOE中，由已知边、角求未知边、角，进而求出弦长AB和圆的直径CD的长。
注：过圆心O作弦AB的垂线段OE，垂线段OE称为弦心距。 ②证明功能：
如图：AB是⊙O的直径，EF是弦，BC⊥EF于C，AD⊥EF于D。求证：CE＝FD
分析：通过作弦心距OM易得OM∥BC∥AD
又由AO＝OB得出CM＝MD，再根据垂径定理得到 EM＝MF，进而得出CE＝FD 这一结论。
说明：此题还可以进行变化，讨论如果弦EF与直径AB相交，结论是否仍然成立？ ③作图功能：
例如：把已知弧二等分，四等分等。 作法：
（1）连结AB；
（2）作AB的中垂线交AB于C，则点C为AB的中点； （3）若再连结AC，CB，分别作AC，CB的中垂线交
??AB于D、E， 则D、C、E把AB四等分。
值得注意的是：见如下反例
点D、C、E是AB的四等分点吗？你能说明其中的理由吗？ 应用新知
???第 5 页
人教版 九年级上册 新初三暑假衔接课程 圆 第一、二课时 含习题和答案
