高考模拟数学试卷
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
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2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1
1．函数f(x)＝ln的定义域为 ▲ ．
1－x
－2．若复数z满足z(1－i)＝2i（i是虚数单位），－z是z的共轭复数，则z·z＝ ▲ ．
3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．
4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：
男性青年观众 女性青年观众 不喜欢戏剧 40 喜欢戏剧 10 40 60 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S的值为 ▲ ．
6．记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，S4－5S2＝0， 则S5的值为 ▲ ．
π
7．将函数f(x)＝sinx的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，
3则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为 ▲ ．
S←1 I←1 While I≤8 S←S＋I I←I＋2 End While Print S （第5题图）
8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为 ▲ ． π3π
9．若sin(α－)＝，α∈(0，)，则cosα的值为 ▲ ．
652
10．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．
①若α∥β，m?α，则m∥β； ②若m∥α，n?α，则m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β．
11．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k
变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为 ▲ ．
12．若函数f(x)＝x2－mcosx＋m2＋3m－8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为 ▲ ． →→→→13．已知平面向量AC＝(1，2)，BD＝(－2，2)，则AB?CD的最小值为 ▲ ．
b
14．已知函数f(x)＝lnx＋(e－a)x－b，其中e为自然对数的底数．若不等式f(x)≤0恒成立，则的最小值
a
为 ▲ ．
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二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2． （1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小； π
（2）若∠ABC＝，求△ADC的面积．
4
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB． （1）求证：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；
17．（本小题满分14分）
在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
18．（本小题满分16分）
A
B
（第17题图）
D
C
P
（第16题图） A
B
D
C
B C D
（第15题图1）
B
D C A
A
（第15题图2）
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋2＝1经过点(b，2e)，其中e为椭圆
8bC的离心率．过点T(1，0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
AT·BT
的值； MN 2
→2→
（3）记直线l与y轴的交点为P．若AP＝TB，求直线l的斜率k．
5y
19．（本小题满分16分）
已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R． （1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．
①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；
?f (x)，x≤m，
②若函数F(x)＝?的值域为R，求实数m的取值范围；
?g (x)，x＞m
N A （第18题图）
P O T x M B （2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，
求证：e－1≤a≤e2－e．
20．（本小题满分16分）
Sn
已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n＋1) bn＝an＋1－，
n(n＋2) cn＝
an＋1＋an＋2Sn
－，其中n∈N*． 2n
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．
数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考．．．试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．
内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M． （1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度； （2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．
C O C
N
B．选修4—2：矩阵与变换
? 3 0?
设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= ?? 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x
?－1 b?
＋y－91＝0．求实数a，b的值．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
3x＝1＋t，?x＝4k2，5
在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：?(k为参数)交于A，
4?y＝4ky＝t5
???
B两点，求线段AB的长．
D．选修4—5：不等式选讲
设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说．．．．．．．．
明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2， π
∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．
3（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值； （2）点M在线段A1D上，
23．（本小题满分10分）
现有
B A E C F
M
D
B1 A1M
＝λ ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值． A1D
A1
C1
D1
（第22题图）
n(n＋1)
（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵： 2
* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 ……………
…………………
* * ………… * * ………………… 第n行
设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜Mn的概率为pn．
（1）求p2的值； C2n＋1
（2）证明：pn＞．
(n＋1)!
数学
参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
2
1．(－∞，1) 2．2 3． 4．30 5．17 6．31
37．3 8． 6 9．91
13．－ 14．－ 4e
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）
解：（1）设∠BAD＝α，∠DAC＝β． 因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
11
所以tanα＝，tanβ＝， ………………… 2分
2311
＋23tanα＋tanβ
所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1． ………………… 4分
111－tanαtanβ
1－×23π
又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝． ………………… 6分
4（2）设∠BAD＝α．
π
在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3．
4
ADBD2
由正弦定理得 ＝， 解得sinα＝． ………………… 8分
πsinα4sin4
因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝1－sin2α＝πππ因此sin∠ADC＝sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin
444
14
． ………………… 10分 4
43－3
10．①④ 11．32 12．{2} 10
【20套精选试卷合集】西北工业大学附属中学2024-2024学年高考数学模拟试卷含答案
