函数与导数（理科数学）
1、对于R上的可导函数f(x)，若满足(x?1)f/(x)?0，则必有（C） A．f(0)?f(2)?2f(1) B．f(0)?f(2)?2f(1) C．f(0)?f(2)?2f(1) D．f(0)?f(2)?2f(1)
2、f(x)是定义在(0,??)上的非负可导函数，且满足xf(x)?f(x)?0对任意正数a,b.若a?b则必有( C )
/A.af(a)?f(b) B.bf(b)?f(a) C.af(b)?bf(a) D.bf(a)?af(b)
3、f(x)是定义在(0,??)上的非负可导函数，且满足xf/(x)?f(x)?0对任意正数a,b.若a?b则必有( C )
A、af(a)?f(b) B、bf(b)?f(a) C、af(b)?bf(a) D、bf(a)?af(b)
???p,当p?q4、记min?p,q???．若函数f(x)?min?3?log1x,log2x?，
?q.当p?q4??则函数f(x)的解析式_______________.f(x)?2的解集为_________________.
?3?log1x,3?log1x?log2x???44答案：（1）f(x)?min?3?log1x,log2x?=? 3分
3?log1x?log2x4???log2x,4?解3?log1x?log2x得x?4．又函数y1?3?log1x在(0,??)内递减，y2?log2x在(0,??)内递增，所
44以当0?x?4时，3?log1x?log2x；当x?4时，3?log1x?log2x．
44?log2x,0?x?4?所以f(x)??3?logx,x?4．
1?4??x?4,?0?x?4,?（2）f(x)?2等价于：?①或?3?logx?2②．
1?log2x?2?4?解得：0?x?4或x?4，即f(x)?2的解集为(0,4)?(4,??)．
5、设函数f(x)?a332x?x?(a?1)x?1,其中a为实数。 32（1）已知函数f(x)在x?1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f(x)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，求实数x的取值范围。 解: (1) f(x)?ax?3x?(a?1)，由于函数f(x)在x?1时取得极值，所以 f(1)?0 即 a?3?a?1?0,∴a?1
(2) 方法一由题设知：ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，
即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立，设 g(a)?a(x?2)?x?2x(a?R), 则对任意x?R，
222222'2''2g(a)为单调递增函数(a?R)，所以对任意a?(0,??)，g(a)?0恒成立的充分必要条件是g(0)?0，
即 ?x?2x?0，∴?2?x?0， 于是x的取值范围是x|?2?x?0?
2?方法二 由题设知：ax?3x?(a?1)?x?x?a?1对任意a?(0,??)都成立，
22x2?2x即a(x?2)?x?2x?0对任意a?(0,??)都成立，于是a?2对任意a?(0,??)都成立，
x?222x2?2x?0∴?2?x?0于是x的取值范围是?x|?2?x?0? 即2x?2149x?x3?x2?cx有三个极值点。 42（1）证明：?27?c?5；
6、已知函数f(x)?（2）若存在实数c，使函数f(x)在区间?a,a?2?上单调递减，求a的取值范围。 解：（1）因为函数f(x)?32149x?x3?x2?cx有三个极值点, 42所以f?(x)?x?3x?9x?c?0有三个互异的实根.
设g(x)?x?3x?9x?c,则g?(x)?3x?6x?9?3(x?3)(x?1),当x??3时，g?(x)?0,
322g(x)在(??,?3)上为增函数;当?3?x?1时，g?(x)?0, g(x)在(?3,1)上为减函数;
当x?1时，g?(x)?0, g(x)在(1,??)上为增函数;所以函数g(x)在x??3时取极大值,在x?1时取极小值. 当g(?3)?0或g(1)?0时,g(x)?0最多只有两个不同实根.因为g(x)?0有三个不同实根,
所以g(?3)?0且g(1)?0. 即?27?27?27?c?0,且1?3?9?c?0,解得c??27,且c?5,故?27?c?5. （2）由（I）的证明可知，当?27?c?5时, f(x)有三个极值点. 不妨设为x1，x2，x3（x1?x2?x3），则
f?(x)?(x?x1)(x?x2)(x?x3). 所以f(x)的单调递减区间是(??，x1],[x2,x3]若f(x)在区间?a,a?2?上单调
递减，
则?a,a?2??(??，x1], 或?a,a?2??[x2,x3],
若?a,a?2??(??，x1],则a?2?x1.由（I）知，x1??3,于是a??5.
32若?a,a?2??[x2,x3],则a?x2且a?2?x3.由（I）知，?3?x2?1.又f?(x)?x?3x?9x?c,当c??27时，
f?(x)?(x?3)(x?3)2;
2当c?5时，f?(x)?(x?5)(x?1).因此, 当?27?c?5时，1?x3?3.所以a??3,
且a?2?3.即?3?a?1.故a??5,或?3?a?1.反之, 当a??5,或?3?a?1时，总可找到c?(?27,5),使函数
f(x)在区间?a,a?2?上单调递减.
综上所述, a的取值范围是(??，?5)7、设函数f(x)?xe2x?1(?3,1).
?ax3?bx2，已知x??2和x?1为f(x)的极值点．
（1）求a和b的值； （2）讨论f(x)的单调性； （3）设g(x)?23x?x2，试比较f(x)与g(x)的大小． 3x?1解：（1）因为f?(x)?e(2x?x2)?3ax2?2bx?xex?1(x?2)?x(3ax?2b)，
又x??2和x?1为f(x)的极值点，所以f?(?2)?f?(1)?0，
因此???6a?2b?0，1解方程组得a??，b??1．
3?3?3a?2b?0，13x?1（2）因为a??，b??1，所以f?(x)?x(x?2)(e因为当x?(??，?2)?1)，令f?(x)?0，解得x1??2，x2?0，x3?1．
(0，1)时，f?(x)?0；当x?(?2，0)(1，??)时，f?(x)?0．
所以f(x)在(?2，0)和(1，??)上是单调递增的；在(??，?2)和(0，1)上是单调递减的． （3）由（Ⅰ）可知f(x)?xe令h(x)?ex?12x?11?x3?x2，故f(x)?g(x)?x2ex?1?x3?x2(ex?1?x)， 3?x，则h?(x)?ex?1?1．令h?(x)?0，得x?1，因为x????，1?时，h?(x)≤0，
所以h(x)在x????，故x????，因为x??1所以h(x)1?上单调递减．1?时，h(x)≥h(1)?0；，???时，h?(x)≥0，在x??1，???上单调递增．故x??1，???时，h(x)≥h(1)?0．
??)，恒有h(x)≥0，又x所以对任意x?(??，??)，恒有f(x)≥g(x)． 故对任意x?(??，2≥0，因此f(x)?g(x)≥0，
4328、设函数f(x)?x?ax?2x?b(x?R)，其中a，b?R．
高三函数与导数专题(含答案)经典
