2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）
试题
一、单选题 1．设全集A．C．【答案】A
【解析】进行交集、补集的运算即可． 【详解】
?UB＝{x|﹣2＜x＜1}；
∴A∩（?UB）＝{x|﹣1＜x＜1}． 故选：A． 【点睛】
考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
，集合
,
B．D．
,则
（ ）
2．已知双曲线A．C．【答案】D
的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（ ）
B．D．
【解析】先求出c＝2，再根据1+b＝c＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】
22
双曲线C：
22
∵1+b＝c＝4，
的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，
∴b，
x，
∴双曲线C的渐近线方程为y故选：D． 【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题. 3．已知向量
,,则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．－1 D．1
【答案】A
【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算． 【详解】
由投影的定义可知：
向量在向量方向上的投影为：又∵
，
，
∴
故选：A． 【点睛】
．
本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题． 4．已知
,条件甲：
；条件乙：
,则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件． 【详解】 条件乙：
，即为
?
若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立； 反之，当条件乙成立，则
也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，
所以甲是乙成立的充分非必要条件 故选：A． 【点睛】
判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命
题q的关系．
5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； ②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； ③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； ④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。 其中所有正确结论的编号为：（ ） A．①③ 【答案】C
【解析】根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得． 【详解】
甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确； 甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；
从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确． 故选：C． 【点睛】
本题考查了茎叶图，属基础题．平均数即为几个数加到一起除以数据的个数得到的结果. 6．若A．
,且
B．
,
,则C．
（ ）
D．
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】B
【解析】利用两角和差的正弦公式将β＝α-(α﹣β)进行转化求解即可． 【详解】 β＝α-(α﹣β)， ∵＜α∴∵sin（
α
），＜β
，
0， ，
β＜
，
∴＜0，则cos（），
∵sinα，
∴cosα，
则sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（
）
，
故选：B 【点睛】
本题主要考查利用两角和差的正弦公式,同角三角函数基本关系，将β＝α-(α﹣β)进行转化是解决本题的关键，是基础题 7．已知A．若B．若
是两条异面直线,直线与平面，则平面，则
,,,
,,
都垂直,则下列说法正确的是（ ）
C．存在平面，使得D．存在平面，使得【答案】C
【解析】在A中，a与α相交、平行或a?α；在B中，a，b与平面α平行或a，b在平面α内；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥α；在D中，a∥b，与已知a，b是两条异面直线矛盾． 【详解】
由a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，知：
在A中，若c?平面α，则a与α相交、平行或a?α，故A错误；
在B中，若c⊥平面α，则a，b与平面α平行或a，b在平面α内，故B错误； 在C中，由线面垂直的性质得：存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥α，故C正确； 在D中，若存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α，则a∥b，与已知a，b是两条异面直线矛盾，故D错误． 故选：C． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行
排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。 8．将函数
的图像上的所有点向右平移个单位长度,得到函数
的部分图像如图所示,则函数
（ ）
的图像,若函数的解析式为
A．C．【答案】C
B．D．
【解析】根据图象求出A，ω和φ的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象． 【详解】 由图象知A＝1，则
π，得ω＝2，
（
）
，即函数的周期T＝π，
即g（x）＝sin（2x+φ）， 由五点对应法得2则g（x）＝sin（2x
φ＝2kπ+π，k），
,得φ
，
将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象， 即f（x）＝sin[2（x故选：C． 【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键． 9．已知定义域的奇函数
）]＝sin（2x）=，
的图像关于直线对称,且当时,,则
（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据f（x）的图象关于直线x＝1对称，即可得出f（2﹣x）＝f（x），从而得出
，再根据f（x）是奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）＝x3，从而得出
．
【详解】
∵f（x）是奇函数，且图象关于x＝1对称； ∴f（2﹣x）＝f（x）； 又0≤x≤1时，f（x）＝x； ∴
故选：B． 【点睛】
考查奇函数的定义，函数f（x）的图象关于x＝a对称时，满足f（2a﹣x）＝f（x），以及已知函数求值的方法． 10．已知于A．2 【答案】B
【解析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x﹣y＝0垂直，再由斜率的关系列式求解． 【详解】 圆C：圆心坐标为如图，
化简为，半径为
．
且为常数,圆
最短时,直线的方程为
B．3
C．4
,过圆内一点
的直线与圆相交
．
3
两点,当弦,则的值为（ ）
D．5
由题意可得，当弦则
故选：B． 【点睛】
最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．
，即a＝3．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
11．用数字0,2,4,7,8,9组成没有重复数字的六位数,其中大于420789的正整数个数为（ ） A．479 【答案】C
【解析】根据题意，分3种情况讨论：①，六位数的首位数字为7、8、9时，②，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，③，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，分别求出每种情况下的六位数的数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】
根据题意，分3种情况讨论：
①，六位数的首位数字为7、8、9时，有3种情况，将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，
5
此时有3×A5＝360种情况，即有360个大于420789的正整数，
B．480 C．455 D．456
②，六位数的首位数字为4，其万位数字可以为7、8、9时，有3种情况， 将剩下的4个数字全排列，安排在后面的4个数位，此时有3×A4＝72种情况，即有72个大于420789的正整数，
③，六位数的首位数字为4，其万位数字为2，将剩下的4个数字全排列，安排在后面
4
的4个数位，此时有A4＝24种情况，其中有420789不符合题意，有24﹣1＝23个大
4
于420789的正整数，
则其中大于420789的正整数个数有360+72+23＝455个； 故选：C． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 12．某小区打算将如图的一直三角形角形
,在其内建造文化景观.已知
区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三
,
,则
区域内面积(单位：)
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题，△ABC是直三角形，DEF是等边三角形，可得CB
∠A＝，
∠B＝；设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，在三角形△BFE中利用正弦定理求解x的最小值，即可求解△DEF区域内面积的最小值． 【详解】
△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB
，
DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，
△BFE中由正弦定理，可得
可得x，其中tanα；
∴x；
则△DEF面积S故选：D． 【点睛】
本题考查正弦定理，三角形的面积的求法，考查DEF边长的求法，角的表示求解最值
问题，是中档题，
二、填空题 13．已知复数【答案】
,则
_____。
【解析】根据复数的计算及模长意义即可求出． 【详解】 复数z故答案为：【点睛】
本题主要考查复数的计算及模长意义，属于基础题． 14．已知三棱锥
,
【答案】
，构造以
为边的正方体求其
的四个顶点都在球的表面上,若
则球的表面积为_____。
．
，则|z|
，
【解析】由题意得外接球即可求解． 【详解】 由题知
求，设半径为R,则2R=故答案为：3π． 【点睛】
则以
为边的正方体的外接球即为所
,故球的表面积为
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 15．在平面直角坐标系
中,定义两点,已知点
间的折线距离为,则
的取值范围为___.
【答案】
【解析】d（O，C）＝|x|+|y|＝1，利用三角换元求最值即可得出． 【详解】
d（O，C）＝|x|+|y|＝1，令 |x|=
，|y|=
,则|x|，|y|
故
故答案为：【点睛】
．
本题考查了三角换元法求函数最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．已知为抛物线物线在【答案】6
【解析】设直线l的方程为：y＝kx+1，A（＝0，利用根与系数的关系可得|AB|＝
），B（＝k（
）．联立化为：x2﹣4kx﹣4）+4．对x2＝4y两边求导
的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点
,且
相交于点,则
的小值是___.
,抛
两点处的切线分别是
可得：y′，可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣），切线PB的方程为：y
﹣（x﹣），联立解得P点坐标，可得代入|PF|，利用导数研究函数的单
调性极值即可得出． 【详解】
设直线l的方程为：y＝kx+1，A（联立可得：|AB|＝
），B（
．
，化为：x2﹣4kx﹣4＝0， ＝4k，
＝k（
＝﹣4，
）+4＝4k2+4．
，
对x2＝4y两边求导可得：y′
可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣）
切线PB的方程为：y﹣（x﹣），
联立解得：x∴|PF|
（．
）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．
∴|PF|令
t≥2．
，
则|PF|tf（t），
f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0
时取等号．
可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k故答案为：6． 【点睛】
本题考查了抛物线的综合应用,标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值、切线方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题 17．已知等比数列（1）求数列（2）记【答案】（1）
的前项和为,公比
,且
为
的等差中项,
.
的通项公式
,求数列（2）
的前项和
.
=
，又
【解析】（1）由a2+1是a1，a3的等差中项，可得
，解得
位相减法即可得出． 【详解】 （1）由题意，得∴
，∴
.又
，
，即可得出通项;（2）
，利用错
，
∵∵∴
（2）由（Ⅰ），知
，∴
，∴或，
.
. .∴
.
∴∴∴
. .
.
∴【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等. 18．为了让税收政策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表： 基本满意 很满意 合计
（1）根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?
（2）为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分（单位：分）给予相应的住房补贴（单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲：
40岁及以下 15 25 40 40岁以上 30 10 40 合计 45 35 80 .
;方案乙：.已知这8名员工的贡献积分为2分,3
分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“类员工”的概率。
附：参考数据： 0.50 0.455
【答案】（1）见解析（2） 【解析】（1）由列联表计算
0.40 0.708 0.25 1.323 ，其中.
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 的观测值即可求解；（2）由题得8名员工的贡献积分及按
甲、乙两种方案所获补贴情况，进一步得到“类员工”的人数，再利用古典概型求解即可 【详解】
（1）根据列联表可以求得
的观测值：
.
∵
.
∴有99%的把握认为满意程度与年龄有关
（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为： 积分 方案甲 方案乙
由表可知，“类员工”有5名.
设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“类员工”的概率为.
2 2400 3000 3 3100 3000 6 5200 5600 7 5900 5600 7 5900 5600 11 8700 9000 12 9400 9000 12 9400 9000 则【点睛】
本题考查独立性检验，古典概型计算，熟练计算是关键，是基础题 19．如图①，在等腰梯形
中，，，分别为，的中点，
，为中点现将四边形沿折起,使平面平面
，得到如图②所示的多面体在图②中，
（1）证明：（2）求二面角
；
的余弦值。
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用线面垂直的判定得EF⊥平面DCF，从而得到EF⊥MC；（2）由平面
平面以面
，
，
，得
，进一步得
，
，
平面
，得
两两垂直.以为坐标原点，分别
，求平面
，平
所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
的法向量，求解即可
【详解】
（1）由题意，可知在等腰梯形∵，分别为∴折叠后，∵又
平面
，∴，∴
平面，∴
，
，，
平面的中点，∴
. . . ，平面，∴，
，
，平面两两垂直.
，且
，
中，
，
， .
（2）∵平面∴
平面
以为坐标原点，分别以角坐标系
.
所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直
∵∴∴设平面
，∴，
，，平面，
. ，
，，
的法向量分别为
.
.
.
由取
，则
，得
.
.
由取
，得，则
.
.
∵，
∴二面角【点睛】
的余弦值为.
本题考查空间中直线与平面垂直的判定，空间向量求二面角，考查空间想象能力与思维能力，熟练计算是关键，是中档题．
20．已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程; （2）设椭圆的左，右焦点分别为上位于轴上方的两点，且
，求直线
的方程.
的短轴长为，离心率为。
，左，右顶点分别为，，点，，为椭圆
，
的斜率分别为，，若
，记直线
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得：2b＝4，
，a2＝b2+c2．联立解出即可得出椭圆C的标
准方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），设F1M的方程为：x＝my﹣1，M（
），（＞0），直线F1M与椭圆的另一个交点为M′（
）．由
根据对称性可得：
.直线方程与椭圆方程联立化为：（8m2+9）y2
﹣16my﹣64＝0，根据根与系数的关系及其联立解得m． 【详解】 （1）由题意，得又
，∴
，，
. ，
.
，得0，
∴椭圆C的标准方程为（2）由（1），可知据题意，直线记直线∵联立消去，得
的方程为
，
， ，设
.
，
.
.
与椭圆的另一交点为，根据对称性，得
，
，其判别式，
∴，.①
由，得，即.②
由①②，解得∵
，∴
.
，
∴.∴.
∴直线【点睛】
的方程为，即.
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．已知函数（1）若（2）证明：【答案】（1）
.（2）见证明
，
，求实数取值的集合；
.
【解析】（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；
（2）由（1），可知当时，，即
时，
在恒成立. 要证
.构造
，只需证当，证明
【详解】
即可
（1）由已知，有.
当当若
时，时，若
，则
，则
，
，与条件
，
矛盾； 单调递减；
单调递增.
∴在上有最小值，∴
.∴
时，时，
，，
单调递增； 单调递减. .∴.
.
由题意令当当∴∴∴
在
上有最大值. ，∴
，
.
综上，当时，实数取值的集合为
时，
，
时，
.则
.则
，得时，时，
. ，，
单调递减；
. ，即
.
在
恒成立.
（2）由（1），可知当要证只需证当令令由当当即而∴当
，使得时，时，
又∴对
，
，
，，
在
.
.
单调递增.
上单调递增.
，
上单调递减，在
，.
单调递增；当单调递增.
，
时，，单调递减；当
恒成立，即.
综上所述，【点睛】
成立.
本题考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式，转化化归思想，分类讨论，合理利用（1）的结论证明（2）是关键，是中档题 22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系程为极坐标系。
（1）写出曲线的普通方程和直线的极坐标方程; （2）若直线与曲线恰有一个公共点，求点的极坐标。
中，直线的参数方程为(为参数,
(为参数,倾斜角),曲线C的参数方
)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立
【答案】（1），，. （2）
【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果． 【详解】
（1）由曲线的参数方程∵
，∴曲线的普通方程为
，得
. .
∵直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），
∴直线的倾斜角为，且过原点（极点）. ∴直线的极坐标方程为
，
.
（2）由（Ⅰ），可知曲线为半圆弧.
若直线与曲线恰有一个公共点，则直线与半圆弧相切. 设而
，由题意，得
，∴
.故
.
.
∴点的极坐标为【点睛】
.
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数（1）求的值；
的最大值为3，其中
。
（2）若【答案】（1）
，，（2）见解析
，求证：。
【解析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为【详解】 （1）∵
，
2ab≥1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证．
∴.
∴当∴
时，取得最大值.
.
，
（2）由（Ⅰ），得
.
∵
，当且仅当
时等号成立，
∴令则∴当
在
. ，
.
.
.
上单调递减.∴时，
∴【点睛】
.
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.
2019届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题（解析版）
