第一章 集合与常用逻辑用语
第1课时 集合的概念
一、 填空题
1. 以下对象的全体能够构成集合的是________．(填序号)
2
① 中国古代四大发明； ② 地球上的小河流； ③ 方程x－1＝0的实数解； ④ 周长为10 cm的三角形．
答案：①③④
解析：根据集合中元素的特征，可知①③④符合． 2. 下面有四个命题：
① 集合N中最小的数是1；
② 若－a不属于N，则a属于N；
③ 若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；
2
④ x＋1＝2x的解集可表示为{1，1}． 其中正确命题的个数为________ . 答案：0
解析：① 最小的数应该是0；② 反例：－0.5?N，但0.5?N；③ 反例：当a＝0，b＝1时，a＋b＝1；④ 不满足元素的互异性．
3. 下列集合中表示同一集合的是________．(填序号) ① M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}； ② M＝{2，3}，N＝{3，2}；
③ M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}； ④ M＝{2，3}，N＝{(2，3)}． 答案：②
解析：①中的集合M表示由点(3，2)所组成的单点集，集合N表示由点(2，3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合；③中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；④中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合；对于②，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
??x＋y＝1，
4. 方程组?22的解集是____________．
?x－y＝9?
答案：{(5，－4)}
??x＋y＝1，??x＝5，?解析：由2得?该方程组的解集为{(5，－4)}． 2
?x－y＝9?y＝－4，??
5. 设集合A＝{3，m}，B＝{3m，3}，且A＝B，则实数m的值是____________． 答案：0
解析：由{3，m}＝{3m，3}，得m＝3m，m＝0.
6. 设非空数集M?{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．
答案：6
3
解析：集合{1，2，3}的所有子集共有2＝8(个)，不含奇数元素的集合有{2}，?，共2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．
2
7. 已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R|x－ax＋1＝0，a∈A}，则B?A时，a＝________． 答案：1或2
解析：验证a＝1时B＝?满足条件；验证a＝2时B＝{1}也满足条件．验证a＝3时B＝?3＋53－5?????，不满足条件． ，2??2??
2
8. 已知集合A＝{a}，B＝{x|x－5x＋4<0 ，x∈Z}，若A?B，则a等于________． 答案：2或3
解析：由题意可得B＝{x|1 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；当B≠?时，若B?A，如图． m＋1≥－2，?? 则?2m－1≤7，解得2 综上，m的取值范围为(－∞，4]． 22 10. 已知集合A＝{x|y＝lg(x－x)}，B＝{x|x－cx<0，c>0}．若A?B，则实数c的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 解析：A＝{x|y＝lg(x－x)}＝{x|x－x>0}＝(0，1)， 2 B＝{x|x－cx<0，c>0}＝(0，c)， 因为A?B，画出数轴，如图所示，得c≥1. 二、 解答题 1－x22 11. 已知集合A＝{x|＞0}，B＝{x|x－2x－a－2a＜0}．若A?B，求实数a的取值 x－7 范围． 解：B＝{x|(x＋a)(x－a－2)<0}， ① 当a＝－1时，B＝?，∴ A?B不成立； ② 当a＋2>－a，即a>－1时，B＝(－a，a＋2)． ??－a≤1， ∵ A?B，∴ ?解得a≥5； ?a＋2≥7，? ③ 当a＋2<－a，即a<－1时，B＝(a＋2，－a)． ??a＋2≤1， ∵ A?B，∴ ?解得a≤－7. ?－a≥7，? 综上，实数a的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)． 1 12. 设集合A的元素为实数，且满足① 1?A，② 若a∈A，则∈A. 1－a (1) 若2∈A，试求集合A； (2) 若a∈A，试求集合A； (3) 集合A能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由． 111 解：(1) 由题意知＝－1∈A，＝∈A， 1－21－（－1）2?1?1 ?－1，，2?. 而＝2，∴ A＝ 2?1? 1－2 11a－1 (2) 由题意知∈A，＝∈A， 1－a1a 1－1－a?1a－1?1 ?. ，而＝a.∴ A＝?a， 1－aa?a－1? 1－ a 1a－1 (3) 假设A为单元素集合，则必有＝a＝， 1－aa 2 ∴ a为a－a＋1＝0的根． 2 2 ∵ a－a＋1＝0无实根， ∴ 这样的a不存在，即A不可能是单元素集合． 13. (2024·溧阳中学周练)已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1) 若c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b. (2) 对于任意的a∈A，b∈B，是否一定有a＋b∈C？并证明你的结论． 解：(1) 令c＝6m＋3(m∈Z)，则c＝3m＋1＋3m＋2.再令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c＝a＋b.故若c∈C，存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立． (2) 不一定有a＋b∈C.证明如下：设a＝3m＋1，b＝3n＋2(m，n∈Z)，则a＋b＝3(m＋n)＋3.因为m，n∈Z，所以m＋n∈Z.若m＋n为偶数，令m＋n＝2k(k∈Z)，则3(m＋n)＋3＝6k＋3，此时a＋b∈C.若m＋n为奇数，令m＋n＝2k＋1(k∈Z)，则3(m＋n)＋3＝6k＋6＝6(k＋1)，此时a＋b?C.综上可知，对于任意的a∈A，b∈B，不一定有a＋b∈C.第2课时 集 合的基本运算 一、 填空题 1. 已知集合A＝{x|x>0}，函数f(x)＝（2－x）（x－3）的定义域为集合B，则A∩B＝________． 答案：[2，3] 解析：B＝{x|2≤x≤3}?A∩B＝(0，＋∞)∩[2，3]＝[2，3]． 2. 已知集合A＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________． 答案：{(0，1)，(－1，2)} 解析：A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可． 2 ?x?22??，B＝{y|y＝x－1}，则A∩Bx|＋y＝13. (2024·河北衡水中学期初)设集合A＝ ?2? ＝________． 答案：[－1，2] 2x22 解析：由＋y＝1得－2≤x≤2，即A＝[－2，2]，由B＝{y|y＝x－1}，得B 2＝[－1，＋∞)，则A∩B＝[－1，2]． 4. 设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B??RA，则实数a的取值范围为____________． 答案：[－1，＋∞) 解析：∵ A＝{x|x>1}，∴ ?RA＝{x|x≤1}．如图所示． ∵ B＝{x|x<－a}，要使B??RA，则－a≤1，即a≥－1. π 5. (原创)集合A＝{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z}，B＝{x|－2≤x≤2}，则集合A∩B 4 ＝________． ?π?答案：[－2，0]∪?，2? ?4? πππ 解析：由已知集合A＝…∪[－π＋，－π＋π]∪[，π]∪[π＋，π＋π]∪…， 444 π B＝{x|－2≤x≤2}，利用数轴表示易得A∩B＝[－2，0]∪[，2]． 4 6. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． 2 答案：8 解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学、化学小组的人数为x，则有20－x＋6＋5＋4＋9－x＋x＝36，故x＝8. 7. 已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a 答案：(－∞，－1] 解析：因为C∩A＝C，所以C?A. 3 ① 当C＝?时，满足C?A，此时－a≥a＋3，得a≤－；② 当C≠?时，要使C?A，则 2 －a ?－a≥1，解得－ 2 ??a＋3<5， x 8. 已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝b＋1，b>0，b≠1}．若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________． 答案：(1，＋∞) x 解析：由于集合B中的元素是指数函数y＝b的图象向上平移一个单位长度后得到的函 x 数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝b＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)． 9. 给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ① 集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ② 集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③ 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确的结论是________．(填序号) 答案：② 解析：－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正确；设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确． 22 10. 设集合A＝{x|x＋2x－3>0}，集合B＝{x|x－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________． ?34?答案：?，? ?43? 22 解析：A＝{x|x＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2， 3a≥，4??4－4a－1≤0，34 ?所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<. 43?9－6a－1>0，4? a<，3 二、 解答题 22 11. 已知集合A＝{a，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a＋1}．若A∩B＝{－3}，求A∪B. 2 解：由A∩B＝{－3}知：－3∈B，又a＋1≥1，故① 当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－2，1}，由于A∩B≠{－3}，故a＝0舍去；② 当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{0，1，－3}，B＝{－3，－4，2}，满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3，0，1，2}． 说明：由－3∈B对B的元素进行讨论，注意对a的值进行验证，防止增解． ????? 12. 已知A＝?x| 2x－1?ππ? ≥1?，B＝{y|y＝asin θ，θ∈?－?6，2?，a∈R}． ???x＋3? ? (1) 求A； (2) 若A∩B＝?，求a的取值范围． 2x－12x－1－（x＋3） 解：(1) 由≥1，得≥0，解得x<－3或x≥4，∴ A＝(－∞， x＋3x＋3 －3)∪[4，＋∞)． 1?ππ??ππ?(2) 由θ∈?－，?得－≤sin θ≤1，所以B＝{y|y＝asin θ，θ∈?－，?，2?62??62? ?－a，a?，a>0，?2??? ??a∈R}＝?{0}，a＝0， ?a，－a?，a<0.????2?? 1??－3≤－a， 2?0 ??a<4 －3≤a，?? 当a<0时，有?1?－3≤a<0；综上，－3≤a<4，从而a的取值范围是[－3，4)． －a<4??213. 已知集合A＝{x|x－2x－3>0}，B＝{x|x－4x＋a＝0，a∈R}． (1) 存在x∈B，使得A∩B≠?，求a的取值范围； (2) 若A∩B＝B，求a的取值范围． 解：(1) 由题意得B≠?，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4 ①. 22 令f(x)＝x－4x＋a＝(x－2)＋a－4，其对称轴为直线x＝2. ∵ A∩B≠?，又A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴ f(3)<0，解得a<3 ②. 由①②得a的取值范围是(－∞，3)． (2) ∵ A∩B＝B，∴ B?A. 当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B是空集，这时满足A∩B＝B； 当Δ＝16－4a≥0时，a≤4 ③. 2 令f(x)＝x－4x＋a，其对称轴为直线x＝2. ∵ A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠?， ∴ f(－1)<0，解得a<－5 ④. 由③④得a<－5. 综上，a的取值范围是(－∞，－5)∪(4，＋∞)．第3课时 简单的逻辑联结词、量词 一、 填空题 1. 给出下列命题： ① 原命题为真，它的否命题为假； ② 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③ 一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④ 一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． 其中真命题是________．(填序号) 答案：②③ 解析：原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确． 1122 2. 已知命题p：若实数x，y满足x＋y＝0，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.ab 给出下列四个命题：① p且q，② p或q，③ 綈p，④ 綈q.其中真命题的个数为________． 答案：2 2 2
2024版高考一轮复习《第一章集合与常用逻辑用语》课时训练含答案
