第十六章 二次根式
【知识回顾】
1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式:必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式:
二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质:
2
(1)(a)=a (a≥0); (2)a2?a?
a(a>0)
0 (a=0); ?a(a<0)
5.二次根式的运算:
(1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.
(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
ab=a·b(a≥0,b≥0); bb(b≥0,a>0). ?aa(4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
1
A. a>b B. a
4、比较数值 (1)、根式变形法
当a?0,b?0时,①如果a?b,则a?b;②如果a?b,则a?b。
例1、比较35与53的大小。
(2)、平方法
当a?0,b?0时,①如果a2?b2,则a?b;②如果a2?b2,则a?b。
例2、比较32与23的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较213?1与2?1的大小。 (4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
例4、比较15?14与14?13的大小。
(5)、倒数法
例5、比较7?6与6?5的大小。
(6)、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
2
例6、比较7?3与87?3的大小。
(7)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①a?b?0?a?b;②a?b?0?a?b
例7、比较2?12与的大小。 3?13
(8)、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:
abab①?1?a?b; ②?1?a?b
例8、比较5?3与2?3的大小。
5、规律性问题
例1. 观察下列各式及其验证过程:
, 验证:;
验证:.
3
2019年八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(新版)新人教版
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