∴3ab＞1． 故选：D．
二．填空题（共6小题，满分36分，每小题6分）
11．（6分）（2017?上海模拟）函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是 ??=?√??，(??＞4) ． 【解答】解：函数f（x）=x2，（x＜﹣2），则y＞4． 可得x=?√??，
所以函数的反函数为：??=?√??，(??＞4)． 故答案为：??=?√??，(??＞4)．
12．（6分）（2017?江苏一模）已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是√3，则该正四棱锥的体积为 ．
34
﹣
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=√3， 设正四棱锥的高为PO，连结AO， 则AO=AC=√2．
21
在直角三角形POA中，PO=√????2?????2=√3?2=1． 所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．
3
3
3
1
1
4
故答案为：．
3
4
13．（6分）（2017?濮阳二模）在等差数列{an}中，an＞0，a7=a4+4，Sn为数列{an}的前n项
21
和，S19= 152 ．
6 / 10
【解答】解：∵等差数列{an}中，an＞0，a7=a4+4，
2
1
∴??1+6??=1(??+3??)+4，
21解得a1+9d=a10=8，
Sn为数列{an}的前n项和， 则S19=（a1+a19）=19a10=152．
219
故答案为：152．
14．（6分）（2017?南通模拟）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．
41
【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，
2
1
则他们同时选中A食堂的概率为：××=；
2
2
28
1111
他们同时选中B食堂的概率也为：××=；
2
2
28
1111
故们在同一个食堂用餐的概率P=+= 884
111
故答案为：
4
1
15．（6分）（2015?马鞍山二模）已知直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2相切，则a= ﹣1 ． 【解答】解：直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2联立， 消去y可得：ax2﹣4x﹣4=0，a≠0， 因为直线4x﹣y+4=0与抛物线y=ax2相切， 所以△=16+16a=0，解得a=﹣1． 故答案为：﹣1．
16．（6分）（2017?天津一模）已知圆x2+y2+2x﹣2y﹣6=0截直线x+y+a=0所得弦的长度为4，则实数a的值是 ±2√2 ．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y﹣6=0标准方程（x+1）2+（y﹣1）2=8，则圆心（﹣1，1），半径为2√2，
7 / 10
圆心（﹣1，1）到直线x+y+a=0的距离d=丨?1+1+??丨√2√2=2
|a|，
∵圆（x+1）2+（y﹣1）2=8截直线x+y+a=0所得弦长为4， ∴2√8???=4，
2解得a=±2√2， 故答案为：a=±2√2．
三．解答题（共3小题，满分54分，每小题18分）
17．（18分）（2017?河北区一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+），（A＞0，ω＞0）的最小正
6??
2周期为T=6π，且f（2π）=2． （Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅰ）若g（x）=f（x）+2，求g（x）的单调区间及最大值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+），
6??
∵最小正周期为T=6π，即可得：ω=．
31
2????
=6??，
∴f（x）=Asin（x+），
3
6
1??
又∵f（2π）=2，A＞0、 ∴2=Asin（×2π+），
3
6
1
??
故得A=4．
∴f（x）的表达式为：f（x）=4sin（x+）．
3
61
??
（Ⅰ）∵g（x）=f（x）+2， ∴g（x）=4sin（x+）+2
3
61
??
由﹣+2????≤x+≤+2????，k∈Z
2
3
6
2
??1????
可得：6kπ﹣2π≤x≤π+6kπ
∴g（x）的单调增区间为[6kπ﹣2π，π+6kπ]，k∈Z 由+2????≤x+≤2
3
6
??
1
??
3??2
+2????，k∈Z
可得：6kπ+π≤x≤4π+6kπ
8 / 10
∴g（x）的单调减区间为[π+6kπ，4π+6kπ]，k∈Z． ∵sin（x+）的最大值为1．
3
61
??
∴g（x）=4+2=6，
故得g（x）的最大值为6．
18．（18分）（2017?上海模拟）已知双曲线Γ：2?
????2
??2??2=1（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，
F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点． （1）求双曲线Γ的方程；
（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．
【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），
∴双曲线方程为x2﹣y2=2；
??2???2=231（2）{???(2，2)，显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，
??+???2=0??????1=1，??????2=?1，于是|74=0为所求．
19．（18分）（2017?历下区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，CC1=AB=AC=BC=4，D为线段AC的中点． （Ⅰ）求证：直线AB1∥平面BC1D； （Ⅰ）求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1； （Ⅰ）求三棱锥D﹣C1CB的体积．
?????????1+????????11
|=|
?????????1+????????22
|???=3．∴???=3(???)?3??????
1
232
【解答】证明：（Ⅰ）连结B1C交BC1于点M，连结DM，
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∵D为AC中点，M为B1C中点，
∴DM∥AB1，又∵AB1?平面BC1D，DM?平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D．
（Ⅰ）∵CC1⊥底面ABC，BD?底面ABC， ∴CC1⊥BD．
∵AB=BC，D为AC中点，
∴BD⊥AC．又∵AC?A1ACC1，CC1?平面A1ACC1，AC∩CC1=C， ∴BD⊥平面A1ACC1，∵BD?平面C1DB， ∴平面BC1D⊥平面A1ACC1．
（Ⅰ）∵CD=????=2，BC=4，BD⊥AC，
21
∴BD=√????2?????2=2√3．
∵CC1⊥底面ABC，∴CC1为三棱锥C1﹣DBC的高，
所以???????1????=????1???????=3??△??????×????1=××2×2√3×4=√3．
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1
1
1
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体育单招试卷数学模拟试卷3（含答案）
