4.5 增长速度的比较
素养目标·定方向
课程标准 1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增长速度． 2．比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
必备知识·探新知
知识点 函数的平均变化率
Δff (1)定义：函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝__Δx(2)实质：___函数值__的改变量与自变量的改变量之比． Δy(3)理解：自变量每增加1个单位，函数值将增加____个单位．
Δx(4)应用：比较函数值变化的快慢．
思考：对于函数f(x)＝x＋1，g(x)＝4x－3，当Δx足够大时，对于x∈R，f(x0＋Δx)，
通过本节课的学习，使学生体会常见函数的增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等素养． 学法解读 x2－fx1__．
x2－x1
g(x0＋Δx)的大小关系能确定吗？
提示：当Δx足够大时，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)． 知识点
三种常见函数模型的增长差异
函数 性质 在(0，＋∞)上的 增减性 图像的 变化 增长速度 增长后果 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) __增函数__ 随x的增大 逐渐变“陡” 增函数 随x的增大 逐渐趋于稳定 __增函数__ 随x的增大 匀速上升 y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长 会存在一个x0，当x＞x0时，有a＞kx＞logax x思考：指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？
- 1 -
提示：指数增长．
关键能力·攻重难
题型探究
题型
比较函数值增加的快慢
┃┃典例剖析__■
典例1 已知函数y＝4，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，
并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律．
[分析] 按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律． Δy4x2－4x14x1
[解析] 因为＝＝
Δxx2－x1
为4
1
2－1
x4x2－x1－1x，所以y＝4在区间[1,2]上的平均变化率
x2－x1
3
4－14
＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为
2－14－1
＝192，所以当自变量每增
4－3
4－3
加1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快．
规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用
(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．
(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．
┃┃对点训练__■
1．已知函数y＝x－2x－3．
(1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律；
(2)设f(x)＝x－2x－3.记A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，比较直线AB的斜率与直线CD的斜率的大小关系．
Δyx2－2x2－3－x1－2x1－3[解析] (1)＝＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均变
Δxx2－x1
化率为1，在区间[3,4]上的平均变化率为5，所以自变量每增加1个单位，区间长不变的条件下，端点之和越大，函数值增加越快．
(2)直线AB的斜率为1，直线CD的斜率为5，直线AB的斜率小于直线CD的斜率． 题型
比较函数的平均变化率大小
- 2 -
2
2
2
2
┃┃典例剖析__■
典例2 已知函数f(x)＝3，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间
[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．
[分析] 计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小． Δf[解析] 因为＝
Δx3－3a＝2×3，
a＋1－aa＋1
axΔg2a＋1－2a＝＝2， Δxa＋1－aΔhlog3a＋1－log3a?1?＝＝log3?1＋?， Δxa＋1－a?a?又因为a＞1，所以2×3＞2×3＝6，
a1
?1??1?log3?1＋?＜log3?1＋?＝log32＜log33＝1＜6，
?a??1?
因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小． 规律方法：不同函数平均变化率大小的比较
计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．
┃┃对点训练__■
2．已知函数f(x)＝4，g(x)＝5，分别计算这两个函数在区间[2,3]上的平均变化率，并比较它们的大小．
Δf4－4Δg5－5[解析] ＝＝48，＝＝100，
Δx3－2Δx3－2所以在区间[2,3]上f(x)的平均变化率比g(x)的小． 题型
函数增长速度的应用
┃┃典例剖析__■ 角度1 增长曲线的选择
典例3 高为H，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小
洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图像是( B )
3
2
3
2
xx
- 3 -
[解析] 当h＝H时，体积是V，排除A，C，h由0变到H的变化过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图像，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数模型，综合分析知选B．
角度2 函数变化率大小的应用
典例4 函数f(x)＝2和g(x)＝x的图像如图所示．设两函数的图像交于点
x3
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2．
(1)请指出示意图中曲线 C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像示意图，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小． [分析] (1)根据两类函数图形的特征判断． (2)由图像的交点坐标分界，利用图像高低判断大小．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3
，Cx2对应的函数为f(x)＝2． (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，
f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
所以1＜x1＜2,9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2,2 020＞x2， 从图像上可以看出，
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， 所以f(6)＜g(6)； 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2 020)＞g(2 020)； 又因为g(2 020)＞g(6)，
所以f(2 020)＞g(2 020)＞g(6)＞f(6)． ┃┃对点训练__■
3．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示： (1)试根据函数增长差异找出曲线C1，C2对应的函数； (2)比较函数增长差异(以两图像
交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
- 4 -
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x．
(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 下列四种说法中，正确的是( D )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．?x＞0，x＞logax C．?x＞0，a＞logax
D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有a＞x＞logax
[辨析] 四类增长函数模型是有前提的：一次函数模型中要求k＞0，指数、对数函数模型要求底数a＞1，幂函数模型要求指数n＞0.当一次函数模型中k＜0，指数、对数函数模型中底数0＜a＜1，幂函数模型中n＜0时，四类函数模型都是衰减的．
[正解] 对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．
对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．
对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有a＞x＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．
xnxnxn - 5 -
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较学案含解析
