选修4-1 几何证明选讲
第1课时 圆的进一步认识 掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题.
1. 如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，求∠BCD.
① 理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.② 能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题.
1
解：由题设∠BAD＝∠BOD＝50°，
2
则∠BCD＝180°－∠BAD＝130°.
1
2. 如图，AB是圆O的直径，MN与圆O相切于点C，AC＝BC，求sin∠MCA的值.
2
解：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，
ACACAC5
sin∠ABC＝＝＝＝. 22
ABAC＋BC5AC5
5
. 5
3. 已知△ABC内接于圆O，BE是圆O的直径，AD是BC边上的高.求证：BA·AC＝BE·AD. 故sin∠MCA＝
证明：连结AE.
∵ BE是圆O的直径，
∴ ∠BAE＝90°，∴ ∠BAE＝∠ADC.
∵ ∠BEA＝∠ACD，∴ Rt△BEA∽Rt△ACD. BEAC
∴ ＝，∴ BA·AC＝BE·AD. BAAD
4. 如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，求线段NE的长.
解：设AM＝a，由相交弦定理可知，CM·MD＝AM·MB，CN·NE＝AN·NB，即2×4＝a×2a，
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3×NE＝2a×a，消去a解得NE＝.
3
5. 如图，EA与圆O相切于点A，D是EA的中点，过点D引圆O的割线，与圆O相交于点B，C，连结EC.求证：∠DEB＝∠DCE.
证明：∵ EA与圆O相切于点A，
2
由切割线定理得DA＝DB·DC. ∵ D是EA的中点，∴ DA＝DE.
DEDB2
∴ DE＝DB·DC.∴ ＝.∵ ∠EDB＝∠CDE，
DCDE
∴ △EDB∽△CDE，∴ ∠DEB＝∠DCE.
1. 圆周角定理
（1） 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半.
（2） 推论1：同弧（或等弧）所对的圆周角相等.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
（3） 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧为半圆（或弦为直径）.
2. 圆的切线
（1） 圆的切线的性质与判定
① 相关定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
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