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极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y?f(x)是连续函数，在区间(x1,x2)内有且只有一个极值点x0，且
f(x1)?f(x2)，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点x0?x1?x2，我2们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x0?x1?x2的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 2极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x1、x2，
f(x1)?f(x2)?x1?x2；若函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)内
的任意两个变量x1、x2，f(x1)?f(x2)?x1?x2. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？
?a?b,a?b,?两个正数a和b的对数平均数定义：L(a,b)??lna?lnb
??a,a?b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：ab?L(a,b)?（此式记为对数平均不等式）
下面给出对数平均不等式的证明： i）当a?b?0时，显然等号成立 ii）当a?b?0时，不妨设a?b?0， ①先证ab?aaba?ba?b?，要证ab?，只须证：ln?，
bbalna?lnblna?lnba?b，2 令a1?x?1，只须证：2lnx?x?,x?1 bx21(x?1)21?0，所以f(x) 设f(x)?2lnx?x?,x?1，则f?(x)??1?2??xxx2x精品文档
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在(1,??)内单调递减，所以f(x)?f(1)?0，即2lnx?x?1， xa?b
lna?lnba?ba?b②再证： ?lna?lnb2故ab?aa?1lna?ba?b 要证：，只须证：b??b
alna?lnb22?1bax?1lnx2lnx 令?x?1，则只须证：，只须证1???，x?1
bx?12x?1221?(x?1)22lnx???0 设g(x)?1?，x?1，则g?(x)??(x?1)22x2x(x?1)2x?12 所以g(x)在区间(1,??)内单调递减，所以g(x)?g(1)?0，即1? 故
2nlx， ?x?12a?ba?b ?lna?lnb2a?b2
x2综上述，当a?0,b?0时，ab?L(a,b)?
例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)有
两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2． 解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，
当a?0时，f(x)?(x?2)e?0，得x?2，只有一个零点，不合题意； 当a?0时，f?(x)?(x?1)[e?2a]
当a?0时，由f?(x)?0得，x?1，由f?(x)?0得，x?1，由f?(x)?0得，x?1， 故，x?1是f(x)的极小值点，也是f(x)的最小值点，所以f(x)min?f(1)??e?0 又f(2)?a?0，故在区间(1,2)内存在一个零点x2，即1?x2?2 由lim(x?2)e?limx???xxxx?21?lim?0,又a(x?1)2?0，所以，f(x)在区间 ?x?xx???ex????e (??,1)存在唯一零点x1，即x1?1， 故a?0时，f(x)存在两个零点； 精品文档
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当a?0时，由f?(x)?0得，x?1或x?ln(?2a)， 若ln(?2a)?1，即a?? 若ln(?2a)?1，即?e时，f?(x)?0，故f(x)在R上单调递增，与题意不符 2e?a?0时，易证f(x)极大值=f(1)??e?0故f(x)在R上只有一 2e 个零点，若ln(?2a)?1，即a??时，易证
22=f(l?n(a2?a(ln?(a2?) f(x)极大值4l?na(2?)?5)f0，故(x)在R上只有一个零点
综上述，a?0
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明 由（Ⅰ）知，a?0且x1?1?x2?2x
2?x令h(x)?f(x)?f(2?x)?(x?2)e?xe因为x?1，所以x?1?0,e2(x?1)(x?1)(e2(x?1)?1),x?1，则h?(x)? ex?2?1?0，所以h?(x)?0，所以h(x)在(1,??)内单调递增
所以h(x)?h(1)?0，即f(x)?f2(x)?，所以f(x2)?f(2?x2)，所以f(x1)?f(2?x2)，
因为x1?1,2?x2?1，f(x)在区间(??,1)内单调递减，所以x1?2?x2，即x1?x2?2 解法二、利用对数平均不等式证明
由（Ⅰ）知，a?0，又f(0)?a?2 所以， 当0?a?2时，x1?0且1?x2?2，故x1?x2?2
(x1?2)ex1(x2?2)ex2当a?2时，0?x1?1?x2?2，又因为a????2(x1?1)(x2?1)2 (2?x1)ex1(2?x2)ex2即?22(1?x)(x?1)12
所以ln(2?x1)?x1?2ln(1?x1)?ln(2?x2)?x2?2ln(x2?1)
所以ln(2?x1)?ln(2?x2)?2(ln(1?x1)?ln(x2?1))?x2?x1?(2?x1)?(2?x2) 所以1?2ln(1?x1)?ln(x2?1)(2?x1)?(2?x2)4?x1?x2??
ln(2?x1)?ln(2?x2)ln(2?x1)?ln(2?x2)2 所以
x1?x2?2ln(1?x1)?ln(x2?1)?22ln(2?x1)?ln(2?x2) ①
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极值点偏移问题的两种常见解法之比较(汇编)
