《角平分线的性质》专题复习
本节主要通过介绍画角的平分线，引导学生发现问题：角的平分线有什么性质？通过将一个角对折的方法学习对角线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．利用三角形全等来说明角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．接着引导学生试做一个三角形内的三个内角的角平分线，看看有什么特点，特点是：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，?并且这个点到三角形三边的距离相等．角的平分线的性质一课占有很重要的地位，它是证明线段相等、角相等的有利工具。
一．角的平分线的性质 这是本节的重点知识，但在以后的习题中很少会单独的出现只考查角平分线的性质的题目，一般会综合的考查三角形全等、平行线等有关知识，故在【知识点击】、【典例引路】、【当堂检测】、【基础训练】中设置了相应的例题以提高解题能力。
二．性质运用
在【备选题目】中，设置了角平分线与方程解决问题的题目，以提高学生的综合解题能力。
三．易错点
本节知识的易错点是，把角平分线的性质及角平分线的判断混淆了，所以在【典例引路】例3题及【基础训练】第3题设置了相应的题目。
【知识点击】
点击一: 角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图：AB是∠CAD的平分线，则有：CB=BD。
点击二: 角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
如图：如果有CB=BD ，则有AB是∠CAD的平分线。
点击三: 三角形的三条角平分线交于三角形内一点，?并且这个点到三角形三边的距离相等．
如图：在三角形ABC中，AD是∠BAC，BE是∠ABC的角平分线，则有IH=IG=IF。
【典例引路】
类型之一:求证角平分线的性质定理
例1：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？
【解析】我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．
【答案】已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．
AHIGECAHIGECBDFBDF 证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F． ∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC ∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代换） 又IG⊥AC、IF⊥BC
∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）
即：三角形的三条角平分线交于一点．
类型之二:利用角平分线的性质求线段之比
例2：如图，已知：∠BAC=30，G为∠BAC的平分线上的一点，若EG ∥AC交AB于E，GD ⊥AC 于D，GD：GE=（ ）
【解析】作GF⊥AB于F（目的是为了用定理） ∵AG平分∠BAC，GD ⊥AC
∴ GF=GD（角平分线的性质定理）
0
∵ EG ∥AC ，∠BAC=30
0
∴∠FEG=30
∴FG：EG=1：2 ∴GD：GE=1：2 【答案】1：2
类型之三: 利用角平分线的性质求角的度数
例3：在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE 平分∠ACB交 AB于 E，D在 AC上，且∠CBD=20。求∠CED的度数。
【解析】此题是考查利用角平分线的性质求角的度数。 【答案】作EF⊥ AC，延长CB，作EG ⊥CB，EH⊥ BD
0
∵CE平分∠ACB，∠ACB=20，
0
∴∠BCE=∠DCE=10，
0
∵∠CBD=20
0
∴ ∠ BDA=40
00
∵∠ABC=100， ∠CBD=20
00
∴ ∠ABG=80，∠ABD=80 ∴ ∠ABG=∠ABD ∴EH=EG
可证△BEH≌△ BEG（AAS） ∵CE平分∠ACB，
∴EF=EG（角平分线性质定理） ∴EF=EH
∴DE平分 ∠BDA（角平分线的判定定理）
0
∴∠EDA=20
∵∠EDA=∠ECA+∠CED
000
∴∠CED=20 -10=10
【基础训练】
1. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（ ）．
A．AD=CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB． B
A
P C
D
【解析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD ,∠ADB=∠CDB三项成立,A项不成立,能推出AD=DC,也能推得AP=PC。
A 【答案】A
C 2. 如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD
与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（） P A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 1 2 C.∠1＜∠2 D.无法确定 B O D 【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定
可知∠1＝∠2．
【答案】A
3．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）
A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm
【解析】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，易得△ACD≌△AED，
∴CD＝DE，AE＝AC，∴△DBE的周长＝DE＋EB＋DE＝CD＋DB＋EB＝BC＋EB＝AC＋EB＝AE＋EB＝AB＝12cm．
【答案】A
【当堂检测】
1. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是_____. 【解析】角平分线上的一点到角的两边距离相等即可得到D到AC的距离是5. 【答案】5
2．如图，已知D为△ABC的BC边的中点，DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：BE＋CF>EF.
【解析】在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ，实质上是将△DBE 及△DFC 分别沿 DE 、 DF 翻折 180° 得到△DEM 及△MFD ，从而使问题得到解决的 .
【答案】在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ， ∵ DE 平分∠ADB ，∴ ∠BDE= ∠EDM.
又∵ DM=BD ， DE=DE ，∴ △BED ≌△MED. 同理可得△MFD ≌△CFD. ∴ BE=EM ， CF=MF.
∵ 在△EMF 中， EM＋MF>EF. ∴ BE＋CF>EF.
【备选题目】
1.（角平分线性质与方程的结合解题） 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数.
【解析】要求∠ADB 及∠BCE 度数，依条件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系， 所以设∠DBA 为 x. 设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程 .
【答案】解：在△ABC 中，∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠DBC= ∠DBA.
又∵∠DBA= ∠DAB ，设∠DBA=x ，那么∠DBC= ∠DAB=x. 又∠ACB=78°，∵ ∠DAB＋∠ABC＋∠ACB=180°， ∴ x＋2x＋78° =180°，解得 x=34°.
故在△ADB 中，∠ADB=180°－∠DAB－∠DBA=180°－2x=112° . 在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，∴ ∠CEB=90° .
∴ ∠BCE=180°－∠CBE－∠CEB=180°－2x－90° =22° . 故∠ADB=112°，∠BCE=22° .
【课时作业】 A等级
1．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，则点D到AC的距离是( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
2．如图，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，?则
图中与∠BCE互余的角有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3．如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③
4．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；?②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．角的平分线上的点到_____________相等；到____________相等的点在这个角的平分线上．
6．如图，△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，C且CE=CB，?则下列结论：①CD平分∠BDE；②BD=DE；③∠B=∠CED；④∠A+∠CED=90°．?其中正确的有（ ） EA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
BAD
7．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则M到OB的距离为 ㎝。 8．在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，则点D到AB的距离为 。
9．如图,∠A＝90°,BD是△ABC的角平分线,AC＝8㎝,DC＝3DA,则点D到BC的距离为 。
10．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
B等级
11．如图，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；?②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④
A34AB2561DBC
12．如图，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（ ）
EA．一处 B．二处 C．三处 D．四处
13．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，?则点D到AB的距离是__________．
14．如图，已知点D是△ABC中AC边一点，点E在AB延长线上，B且△ABC?≌△DBE，∠BDA=∠A．若∠A：∠C=5：3，则∠DBE的度数是（ ）
DACA．100° B．80° C．60° D．120°
15．如图，已知△ABC中，∠C=90°，E是AB的中点，D在∠B的平分线上，且DE⊥AB，则( )
A.BD＜AE B.BC=AE C.BC＜AE D.以上都不对
16．已知：如图⑷，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段 (只需写出一组即可).
17．如图，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=?2cm，则AB与CD之间的距离是___________．
CAEPBC
D
角平分线的性质专题复习(含答案)
