第1讲 函数的图象与性质
[考情分析] 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题． 考点一 函数的概念与表示 核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． x?例1 (1)若函数f(x)＝log2(x－1)＋2－x，则函数f ??2?的定义域为( ) A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4) 答案 B
??2－x≥0，x?x解析 由?得1
定义域为(2,4]．
??2x＋1，x≤0，(2)设函数f(x)＝?x则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________．
?4，x>0，?
1
，＋∞? 答案 ?2??
??2x＋1，x≤0，
解析 ∵函数f(x)＝?x
?4，x>0，?
∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解；
?x>0，?
当?即0 1 f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得≤x≤1； 2 1 当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x1≥2，得x>1. 1 ，＋∞?. 综上，x的取值范围是?2?? 规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 2??x＋2a，x<1， 跟踪演练1 (1)已知实数a<0，函数f(x)＝?若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a的 ?－x，x≥1，? － 取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[－1,0) 答案 B 解析 当a<0时，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1]． (2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( ) A．y＝sin xcos x C．y＝2x 答案 AB 111 －，?，解析 由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x＝sin 2x∈??22?2其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”． 考点二 函数的性质 核心提炼 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． B．y＝ln x＋ex D．y＝x2－2x B．[－2，－1] D．(－∞，0) 2 a＋b (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 2考向1 单调性与奇偶性 A．[－1,1]∪[3，＋∞) C．[－1,0]∪[1，＋∞) 答案 D 解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． B．[－3，－1]∪[0,1] D．[－1,0]∪[1,3] 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0， 得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． π?2cos??2－πx?＋?x＋e? (2)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 021的值为22 x＋e________． 答案 1 π?2cos??2－πx?＋?x＋e? 解析 由已知x∈R，f(x)＝ x2＋e2sin πx＋x2＋e2＋2exsin πx＋2ex＝＝＋1， x2＋e2x2＋e2sin πx＋2ex 令g(x)＝，易知g(x)为奇函数， x2＋e2 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0， M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2 021＝1. 考向2 奇偶性与周期性 3
专题一 第1讲 函数的图象与性质
