上升时间与带宽的对应关系及其应用
2010-5-21 11:48:00 【文章字体：大 中 小】 推荐 收藏 打印
——简单、实用的数学模型使我们把信号的上升时间与测量仪器可达到的带宽联系了起来。 MEKONEN BUZUAYENE Anritsu Corporation
Morgan Hills, California, USA
测量仪器中，如示波器和频谱分析仪，可以用适当的幅值去度量最大的上升时间，其精确度直接与仪器的－3dB带宽(B)相关。
上升时间通常定义为信号幅值从最大稳态值的10%变化到90%对应的时间（见图1），但是，带宽描述的频率范围也覆盖了一个信号所含能量的大部分，假定一个单极高通频率响应表示为图2的情况，带宽亦定义为信号的频率响应衰减3dB以内所对应的频率范围。
图1. 脉冲输入下的时域响应
图2. 脉冲输入下的频域响应
工程环境中，常听到人们根据他们使用的仪器，而交替地使用这两种定义术语（上升时间和带宽）。二者的关系通常包含在大多数示波器目录1和技术讨论手册2中，它们基于如
下方程去描述：
(MHz) (1)
最频繁的问题是：准确地说，方程式中的时域（上升时间）和频域（带宽）部分是什么？或者，就方程而论，常数0.35的根据是什么？或精确地分析，这个表达式是如何推导出来的？
这个关系式是如何提出来的？
以一个电气无源滤波器为例进行讨论，是理解方程(1)来源的最佳途径，它提供了准确的解析值。其他分析方法可用来替代这一分析，如高斯分布或傅立叶级数展开式，但它们分别引起了2.9%和8.6%的分析误差。
为了检查这个关系式，我们使用一个简单的一阶系统，它可以是一个低通的、高通的，或者带通的滤波器。其拓扑不需要任何特别的结构，它可以是并联的或串联的，其网络结构可以是任何形式的，如R-C，R-L，或R-L-C形式。为证明关于
的方程式(1) 的正确性，考虑
一个简单的R-C电路原理图，如图3所示，并在时间和频率两个不同的域中考虑。 电路分析
使用线性电路分析基本法则和基氏定律的概念，我们要用网孔和节点程序来观察图3和图4的时域和频域的特性。 时域分析
为了着手这一分析，现在分别写出上述拓扑的输出方程：
(2)
通过解这个一阶微分方程，我们获得：
? (3)
假定输入电压具有单位阶跃函数形式，我们可以容易地通过对t求解来确定响应的速度。
对t求解，并将RC以电路时间常数 替换，我们得到：
???????????? (4)
(5)
(6)
(7)
鉴于(7)式在使用上的无约束性，我们现在可以计算时间响应曲线的特定瞬时点。广泛使用的测量点是振荡曲线自10% 至 90%的幅值：
(8)
以及 (9)
下一步是将(9)减去(8)来解出上升时间(tr)：
(10)
建立了由 决定的上升时间表达式后(其中也具有频率成分)，我们来尝试从频域的视角做一种分析。 频域分析
应用电压分压方法，方程变为：
?， 这里
我们再考虑输出的功率：
(11)
(12)
然后，我们来考虑“半功率”频率，它通常指(-3分贝)带宽处的频率。正如这个术语的含义所指，输入信号的一半功率被滤波器的无功电抗元件所吸收，另一半则传递到输出。
， 其中 (13)
(14)
将(12)式的
代入，我们得到：
????? ? (15)
上升时间与带宽的对应关系及其应用
