x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
x y
－1 1
图1．1－5
（1）x?5x?6?__________________________________________________。 （2）x?5x?6?__________________________________________________。 （3）x?5x?6?__________________________________________________。 （4）x?5x?6?__________________________________________________。 （5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。
22222（6）x?11x?18?__________________________________________________。 （7）6x?7x?2?__________________________________________________。 （8）4m?12m?9?__________________________________________________。 （9）5?7x?6x?__________________________________________________。 （10）12x2?xy?6y2?__________________________________________________。 2、x2?4x? ??x?3??x? ?
3、若x2?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）x?7x?6（2）x?4x?3（3）x?6x?8（4）x?7x?10 （5）x?15x?44中，有相同因式的是（ ） A、只有（1）（2） B、只有（3）（4） C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式a?8ab?33b得（ ） A、?a?11?? a?3? B、?a?11b?? a?3b? C、?a?11b?? a?3b? D、?a?11b?? a?3b? 3、?a?b??8?a?b??20分解因式得（ ）
222222222222A、?a?b?10?? a?b?2? B、?a?b?5?? a?b?4? C、?a?b?2?? a?b?10? D、?a?b?4?? a?b?5?
4、若多项式x?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ）
2A、a?10，b?2 B、a?10，b??2 C、a??10，b??2 D、a??10，b?2 5、若x2?mx?10??x?a?? x?b?其中a、b为整数，则m的值为（ ） A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9 三、把下列各式分解因式
1、6?2p?q??11?q?2p??3 2、a?5ab?6ab
232223、2y?4y?6 4、b?2b?8
42
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1） a2?b?5??a?5?b? （2）x3?9?3x2?3x 解： （1）．a2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)
（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23
＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3) 课堂练习：
一、填空题：
1、多项式6x2y?2xy2?4xyz中各项的公因式是_______________。 2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。 3、m?x?y??n?y?x???x?y??____________________。
2224、m?x?y?z??n?y?z?x???x?y?z??_____________________。 5、m?x?y?z??x?y?z??x?y?z??______________________。 6、?13abx?39abx分解因式得_____________________。 7．计算99?99= 二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、2ab?4ab?2ab?a?b?………………………………………………………… （ ）
222263252、am?bm?m?m?a?b?…………………………………………………………… （ ） 3、?3x?6x?15x??3xx?2x?5…………………………………………… （ ） 4、x?xnn?132?2??xn?1?x?1?……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解因式： （1）?a4?16 （2）?3x?2y?2??x?y?2 解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)
22 (2) ?3x?2y???x?y?=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)
课堂练习
222233一、a?2ab?b，a?b，a?b的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
4?2??2??2?21、x2?0.01??x???0.1???x?0.1? ?x?0.1?………………………… （ ）
9?3??3??3?222、9a2?8b2??3a???4b???3a?4b??（ ） 3a?4b? …………………………………
23、25a2?16b??5a?4b?? 5a?4b?………………………………………………… （ ） 4、?x2?y2??x2?y2???x?y?? x?y?………………………………………… （ ） 5、a2??b?c???a?b?c?? a?b?c?……………………………………………… （ ） 五、把下列各式分解
2??1、?9?m?n???m?n? 2、3x?2221 32
3、4?x2?4x?2 4、x?2x?1
??244．分组分解法
例4 （1）x2?xy?3y?3x （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．
或
2x2?xy?y2?4x?5y?6=(2x2?xy?y2)?(4x?5y)?6
=(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6 =(2x?y?2)(x?y?3)．
课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）x2?y2?a2?b2?2ax?2by
22（2）a?4ab?4b?6a?12b?9
5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）x2?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 解： （1）令x2?2x?1=0，则解得x1??1?2，x2??1?2，
??? ∴x2?2x?1=??x?(?1?2)??x?(?1?2)?
=(x?1?2)(x?1?2)．
（2）令x2?4xy?4y2=0，则解得x1?(?2?22)y，x1?(?2?22)y， ∴x2?4xy?4y2=[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]．
练 习 1．选择题：
多项式2x2?xy?15y2的一个因式为 （ ） （A）2x?5y （B）x?3y （C）x?3y （D）x?5y 2．分解因式：
233
（1）x＋6x＋8； （2）8a－b；
（3）x－2x－1； （4）4(x?y?1)?y(y?2x)．
习题1．2
1．分解因式：
（1） a?1； （2）4x?13x?9；
（3）b?c?2ab?2ac?2bc； （4）3x2?5xy?2y2?x?9y?4． 2．在实数范围内因式分解：
（1）x?5x?3 ； （2）x?22x?3；
（3）3x2?4xy?y2； （4）(x2?2x)2?7(x2?2x)?12． 3．?ABC三边a，b，c满足a?b?c?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状． 4．分解因式：x＋x－(a－a)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求
2
2
2
3422222222111++的值.
ab?c-1bc?a-1ca?b-1
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）x?2x?3?0(2) x?2x?1?0 (3) x?2x?3?0}
2
我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
222b2b2?4ac)? (x?． ① 2a4a2因为a≠0，所以，4a＞0．于是
2
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
2
?b?b2?4ac x1，2＝；
2a（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－
22
b； 2ab2)一定大于或等于零，因2a（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x?此，原方程没有实数根．
222
由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判定，我们把b－4ac2
叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
2
综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有
?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；
2ab（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
22
（1）x－3x＋3＝0； （2）x－ax－1＝0；
22
（3） x－ax＋(a－1)＝0； （4）x－2x＋a＝0．
2
解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
22
（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4×1×(－1)＝a＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
a?a2?4a?a2?4， x2?． x1?22（3）由于该方程的根的判别式为 222
Δ＝a－4×1×(a－1)＝a－4a＋4＝(a－2)，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
2
Δ＝2－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以
①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
x1?1?1?a， x2?1?1?a；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
初高中数学衔接教材(已整理)word版含答案
