专题强化训练(二十) 概率与统计
1．[2019·天津卷]设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前2
到校的概率均为3，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每2??2k?2?天7：30之前到校的概率均为3，故X～B?3，3?，从而P(X＝k)＝C3?3?
????
k?1?3－k
??
?3?
，k＝0,1,2,3.
所以，随机变量X的分布列为
X P 0 127 1 29 2 49 3 827 2随机变量X的数学期望E(X)＝3×3＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～2??
B?3，3?，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝??3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X824＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P({Y＝1})＋P({X＝2})P({Y＝0})＝27×9＋9120×27＝243. 2．[2019·合肥质检二]某种大型医疗检查机器生产商，对一次性
购买2台机器的客户，推出2种超过质保期后2年内的延保维修优惠方案，
方案一：交纳延保金7 000元，在延保的2年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2 000元；
方案二：交纳延保金10 000元，在延保的2年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1 000元．
某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保2年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 台数 1 2 3 5 10 20 15 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的2年内共需维修的次数．
(1)求X的分布列；
(2)以方案一与方案二所需费用(所需延保金及维修费用之和)的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
解：(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 111
P(X＝0)＝10×10＝100， 111
P(X＝1)＝10×5×2＝25， 11213
P(X＝2)＝5×5＋5×10×2＝25， 131211
P(X＝3)＝10×10×2＋5×5×2＝50， 22317
P(X＝4)＝5×5＋10×5×2＝25， 236
P(X＝5)＝5×10×2＝25， 339
P(X＝6)＝10×10＝100， ∴X的分布列为
X P 0 1100 1 125 2 325 3 1150 4 725 5 625 6 9100 (2)选择延保方案一，所需费用Y1的分布列为 Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000 1711769P 100502525100 1711769
EY1＝100×7 000＋50×9 000＋25×11 000＋25×13 000＋100×15 000＝10 720(元)．
选择延保方案二，所需费用Y2的分布列为
Y2 10 000 11 000 12 000 6769P 10025100 6769EY2＝100×10 000＋25×11 000＋100×12 000＝10 420(元)． ∵EY1＞EY2，∴该医院选择延保方案二较合算．
3．[2019·石家庄一模]东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：
销售量(份) 15 16 17 18 天数 (视样本频率为概率) (1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望．
(2)以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？
解：(1)根据题意可得ξ的可能取值为30,31,32,33,34,35,36， 111P(ξ＝30)＝5×5＝25，
20 30 40 10
2020版新高考理科数学专题强化训练：概率与统计
