2020.2.18三角函数和数列高考题
学校___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）
1. 下列函数中，以2为周期且在区间(4,2)单调递增的是( )
??
????
A. B C D
【案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数、余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于中档题．
根据正弦函数、余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解． 【解答】
解：不是期函数，可排除D选项； 的周为2??，可排除C选项；
在处取得最大值，不可能在区间(4,2)上单调递增，可排除B． 故选A．
2. 已知??∈(0,2)，2??????2??=??????2??+1，则????????=( )．
??
????
A. 5
1
5 B. √53 C. √35 D. 2√5
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由二倍角公式化简已知条件可得4????????????????=2??????2??，结合角的范围可求得????????>0，????????>0，可得????????=2????????，根据同角三角函数基本关系式即可解得????????的值． 【解答】
解：∵2??????2??=??????2??+1，
由二倍角公式可得4????????????????=2??????2??， ∵??∈(0,2)，∴sin ??>0，cos ??>0，
∴????????=2????????．
则有sin2??+cos2??=sin2??+(2????????)2=5??????2??=1， 解得????????=√．
5故选B．
3. 在△??????中，
，????=1，????=5，则????=( )
5??
A. 4√2 B. √30 C. √29 D. 2√5
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】 解：在△??????中，
，
，
∵????=1，????=5，
则????=√????2+????2?2????????????????? =√1+25+2×1×5×=√32=4√2．
53
故选：A．
4. 若在上是函数，则a的最大值是( )
A. 4
??
B. 2 ??
C. 4 3??
D. ??
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
利用两角和差的正弦公式化简，由，得，
取，得的个区[?4,4??]，结合已知条件即可求出a的最大值． 【解答】 解：， ， 得，
，得一个， 由在是减函数， 得{???≥?4??≤
3??4
????
??3
,∴??≤4．
??
则a的最大值是4．
故选：A．
5. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题． 设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值． 【解答】
解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列， 又总共有灯381盏，
∴381=
??(1?27)1?2
=127??，
解得??=3，
则这个塔顶层有3盏灯． 故选B．
6. 若将函数的图象向左平移12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
??
A. B.C.D.【答】B
【解】分析
题考查函数图象的变换规律的应用及正弦函数的图象性质，属于基础题．
由函数图象变换法则得出平移后的函数的解析式，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【解答】
解：将函数的图象向左平移12个单位长度，得到的图象， 令，得：即移后的象的对称轴方程 B．
7. 若，则??????2??=( )
??
A. 25
7
B. 5
1
C. ?5 1
D. ?25 7
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的二倍角公式，诱导公式，属于基础题．
利用诱导公式化??????2??=cos(2?2??)，再利用二倍角的余弦公式代值可得答案． 【解答】
解：∵cos(4???)=5，
????
∴??????2??=cos(?2??)=??????2(???)
24=2??????2(???)?1=2×
4????
3
??
?1=?．
2525
97
故选D．
8. 已知等比数列{????}满足??1=3，??1+??3+??5=21，则??3+??5+??7=( )
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 【答案】B
【解析】解：∵??1=3，??1+??3+??5=21， ∴??1(1+??2+??4)=21， ∴??4+??2+1=7， ∴??4+??2?6=0， ∴??2=2，
∴??3+??5+??7=??1(??2+??4+??6)=3×(2+4+8)=42． 故选：B．
由已知，??1=3，??1+??3+??5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后再代入等比数列通项公式即可求．
本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
9. 若????????=3，则??????2??=( )
1
A. 9 8
B. 9
7
C. ?9 7
D. ?9
8
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 根据??????2??=1?2??????2??能求出结果． 【解答】 解：∵????????=3，
∴??????2??=1?2??????2??=1?2×=．
99故选B．
10. ????????的内角??,??,??的对边分别为??,??,??.若????????的面积为
??2+??2???2
4
1
7
1
，则??= ( )
A. 2
??
B. 3 ??
C. 4
??
D. 6
??
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题． 由??△??????=????????????=
2【解答】
解：∵△??????的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△??????的面积为∴??△??????=2????????????=∴????????=
??2+??2???2
2????1
??2+??2???2
4
??2+??2???2
4
1
??2+??2???2
4
得????????=
??2+??2???2
2????
=????????，由此能求出结果．
，
，
=????????，
??
∵0
11. 设函数，则列结论错误的是( )
A. 的一个周期为?2?? B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为
D. 在(2,??)单调递减
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．
根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】
??
解：对于A，函数的周期为，当时，周期??=?2??，故A正确； 对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为，且，则的一个零点为故C正确；
对于D，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误． 故选D．
二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）
12. △??????的内角A，B，C的对边分别为a，b，??.若??=6，??=2??，??=3，则△??????的面
积为______． 【答案】6√3
【解析】【分析】
本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题． 利用余弦定理得到??2，然后根据面积公式【解答】
解：由余弦定理有
∵??=6，??=2??，??=3， ∴36=(2??)2+??2?4??2cos，
3∴??2=12，
．
故答案为6√3．
13. 已知????????+????????=1，????????+????????=0，则sin(??+??)=______．
【答案】?2
【解析】解：????????+????????=1，
两边平方可得：sin2??+2????????????????+cos2??=1，①， ????????+????????=0，
两边平方可得：cos2??+2????????????????+sin2??=0，②，
由①+②得：2+2(????????????????+????????????????)=1，即2+2??????(??+??)=1， ∴2??????(??+??)=?1． ∴sin(??+??)=?2． 故答案为：?2．
把已知等式两边平方化简可得2+2(????????????????+????????????????)=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2??????(??+??)=?1，可得结果． 本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 14. 求函数
【答案】1
的最大值__________．
1
1
1
????
??
求出结果即可．
，
【数学】2020.2.18三角函数和数列高考题2(2015-2019全国2卷)答案
