二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
2ax?bx?c?0根的分布情况 1、一元二次方程
设方程ax?bx?c?0?a?0?的不等两根为x1,x2且x1?x2，相应的二次函数为f?x??ax2?bx?c?0，方程的
2根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0?x1?0?x2? ?x1?0,x2?0? ?x1?0,x2?0? a?0） a?0） 大致图象（得出的结论???0?b??0 ???2a??f?0??0???0?b??0 ???2a??f?0??0f?0??0 大致图象（得出的结论???0?b??0 ???2a??f?0??0???0?b??0 ???2a??f?0??0f?0??0 综合结论（不讨论a???0?b???0 ??2a??a?f?0??0???0?b???0 ??2a??a?f?0??0a?f?0??0 ）
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表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个大于k即 x1?k,x2?k x1?k,x2?k x1?k?x2 a?0） a?0） 大致图象（kkk 得出的结论???0?b??k ???2a??f?k??0???0?b??k ???2a??f?k??0f?k??0 大致图象（得出的结论???0?b??k ??2a???f?k??0???0?b??k ??2a???f?k??0f?k??0 综合结论（不讨论a???0?b???k ??2a??a?f?k??0???0?b???k ??2a??a?f?k??0a?f?k??0 ）
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表三：（根在区间上的分布）
分布情况两根都在?m,n?内 两根有且仅有一根在?m,n?内 一根在?m,n?内，另一根在?p,q?（图象有两种情况，只画了一种） 内，m?n?p?q a?0） a?0） 足的条件是
大致图象（得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ??fpfq?0??????f?p??0??f?q??0? 大致图象（得出的结论???0??f?m??0??f?n??0 ?b?m???n2a??f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?m?f?n??0?f?n??0?或 ???f?p?f?q??0?f?p??0??f?q??0? 综合结论（不讨论—————— f?m??f?n??0 ?f?m?f?n??0? ???f?p?f?q??0a） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间?m,n?外，即在区间两侧x1?m,x2?n，（图形分别如下）需满
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（1）a?0时，?
???f?m??0?f?m??0； （2）a?0时，?
???f?n??0?f?n??0
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在?m,n?内有以下特殊情况：
1? 若f?m??0或f?n??0，则此时f?m?f?n??0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可
以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间?m,n?内，从而可以求出参数的值。如方程mx2??m?2?x?2?0在区间?1,3?上有一根，因为f?1??0，所以mx??m?2?x?2??x?1??mx?2?，另一根为
2222，由1??3得?m?2m3m即为所求；
2? 方程有且只有一根，且这个根在区间?m,n?内，即??0，此时由??0可以求出参数的值，然后再将参数的值带
入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x?4mx?2m?6?0有且一根在区间??3,0?内，求m的取值范围。分析：①由f??3?f?0??0即?14m?15??m?3??0得出?3?m??2②由??0即16m?4?2m?6??0得出m??1或m?215；143，当m??1时，根x??2???3,0?，即m??1满足题意；23315当m?时，根x?3???3,0?，故m?不满足题意；综上分析，得出?3?m??或m??1
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根的分布练习题
例1、已知二次方程?2m?1?x?2mx??m?1??0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
2解：由 ?2m?1?f?0??0 即 ?2m?1，从而得???m?1??0
1?m?1即为所求的范围。 2例2、已知方程2x??m?1?x?m?0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。
2解：由
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??0?2?m?1?8m?0????????m?1??m?3?22或m?3?22??0 ? m??1?????22m?0????m?0f?0??0???0?m?3?22或m?3?22即为所求的范围。
例3、已知二次函数y??m?2?x2??2m?4?x??3m?3?与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。
解：由 ?m?2?f?1??0 即 ?m?2??2m?1??0 ? ?2?m?
例4、已知二次方程mx2??2m?3?x?4?0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 解：由题意有方程在区间?0,1?上只有一个正根，则f?0?f?1??0 ? 4?3m?1??0 ? m??1即为所求的范围。 21即为所求范围。 3（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在?0,1?内，由??0计算检验，均不复合题意，计
算量稍大）
例1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程x?ax?a?7?0的两个根一个大于2，另一个小于2；
（2）方程7x2?(a?13)x?a2?a?2?0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； （3）方程x?ax?2?0的两根都小于0； 变题：方程x?ax?2?0的两根都小于?1．
（4）方程x2?(a?4)x?2a2?5a?3?0的两根都在区间[?1,3]上； （5）方程x?ax?4?0在区间（?1，1）上有且只有一解；
例2、已知方程x?mx?4?0在区间[?1，1]上有解，求实数m的取值范围．
例3、已知函数f (x)?mx?(m?3)x?1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
2222222检测反馈：
122222．若?、?是关于x的方程x?2kx?k?6?0的两个实根, 则(??1)?(??1)的最小值为 ．
21．若二次函数f(x)?x?(a?1)x?5在区间(,1)上是增函数，则f(2)的取值范围是___________．
3．若关于x的方程x?(m?2)x?2m?1?0只有一根在(0,1)内，则m?_ _． 4．对于关于x的方程x2+(2m?1)x+4 ?2m=0 求满足下列条件的m的取值范围：
（1）有两个负根 （2） 两个根都小于?1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内 （5）一个根在(?2，0)内，另一个根在(1，3)内 （6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（0， 2）内 有根 （8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
5．已知函数f(x)?mx?x?1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
222、二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值问题探讨
设f?x??ax?bx?c?0?a?0?，则二次函数在闭区间?m,n?上的最大、最小值有如下的分布情况：
2m?n??b 2am??bb?n即???m,n? 2a2a5
?b?m?n 2a
二次方程根的分布情况归纳（完整版）
