第4课时 绝对值三角不等式
A.基础巩固
1.(2017年张家口期中)对于实数x,y,若|x-1|≤2,|y-1|≤2,则|x-2y+1|的最大值为( )
A.2 C.5
B.4 D.6
【答案】D 【解析】实数x,y,若|x-1|≤2,|y-1|≤2,则|x-2y+1|=|x-1-2(y-1)|≤|x-1|+2|y-1|≤2+2×2=6,当且仅当|x-1|=|y-1|=2,即x=-1或3,y=-1或3时,取等号.故选D.
2.(2017年鸡西期末)函数y=|x+1|+|x+3|的最小值为( ) A.2 C.4
B.2 D.6
【答案】A 【解析】利用绝对值三角不等式可得y=|x+1|+|x+3|≥|x+1-(x+3)|=2,当(x+1)(x+3)≤0,即-3≤x≤-1时等号成立,故函数y=|x+1|+|x+3|的最小值为2.故选A.
3.“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】∵|x-a|<m,|y-a|<m,∴|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|5
+|y-a|<2m.反过来取x=3,y=1,a=-2,m=满足|x-y|<2m,但|x-a|<m且|y-a|
2<m不成立.
4.已知函数f(x)=-2x+1,对于任意正数ε,使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分不必要的条件是( )
A.|x1-x2|<ε C.|x1-x2|< 4
B.|x1-x2|<
2D.|x1-x2|>
4
εεε【答案】C 【解析】|f(x1)-f(x2)|=|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|<ε?|x1
-x2|<.∵|x1-x2|<?|x1-x2|<,但反过来不成立.故选C.
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5.(2018年齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4,若不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,则m的取值范围为 .
εεε【答案】(-∞,-3] 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6.因为?x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,所以m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].
6.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x1)-
f(x2)|<|x1-x2|恒成立”的序号为______________.
1
(1)f(x)=;(2)f(x)=|x|;
x(3)f(x)=2;(4)f(x)=x.
【解析】(1)因为1<x1<2,1<x2<2,
x2
?11?|x1-x2|,
(1)|f(x1)-f(x2)|=?-?=
?x1x2?
x1x2
因为1<x1x2<4,所以|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立. (2)∵|f(x1)-f(x2)|=||x1|-|x2||=|x1-x2|, ∴结论不成立,对于(3),(4)取特殊值验证结论不成立.
7.已知f(x)=1+x定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1],且x1≠x2. 求证:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
【解析】|f(x1)-f(x2)|=|1+x1-1+x2|=
2
2
2
2
2
|x1-x2||x1+x2|1+x+1+x21
22
. ∵|x1+x2|≤|x1|+|x2|,1+x1+1+x2>|x1|+|x2|, ∴|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
B.能力提升
8.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( ) A.|a+b|+|a-b|>2 C.|a+b|+|a-b|=2
B.|a+b|+|a-b|<2 D.不可能比较大小
【答案】B 【解析】当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2.当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-a+b|=2|b|<2.所以|a+b|+|a-b|<2.
2019_2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式第4课时绝对值三角不等式课后提能训练新人教A版
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