第4课时 绝对值三角不等式
A．基础巩固
1．(2017年张家口期中)对于实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．2 C．5
B．4 D．6
【答案】D 【解析】实数x，y，若|x－1|≤2，|y－1|≤2，则|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－1)|≤|x－1|＋2|y－1|≤2＋2×2＝6，当且仅当|x－1|＝|y－1|＝2，即x＝－1或3，y＝－1或3时，取等号．故选D．
2．(2017年鸡西期末)函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为( ) A．2 C．4
B．2 D．6
【答案】A 【解析】利用绝对值三角不等式可得y＝|x＋1|＋|x＋3|≥|x＋1－(x＋3)|＝2，当(x＋1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤－1时等号成立，故函数y＝|x＋1|＋|x＋3|的最小值为2.故选A．
3．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|5
＋|y－a|＜2m.反过来取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝满足|x－y|＜2m，但|x－a|＜m且|y－a|
2＜m不成立．
4．已知函数f(x)＝－2x＋1，对于任意正数ε，使得|f(x1)－f(x2)|＜ε成立的一个充分不必要的条件是( )
A．|x1－x2|＜ε C．|x1－x2|＜ 4
B．|x1－x2|＜
2D．|x1－x2|＞
4
εεε【答案】C 【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|(－2x1＋1)－(－2x2＋1)|＝2|x1－x2|＜ε?|x1
－x2|＜.∵|x1－x2|＜?|x1－x2|＜，但反过来不成立．故选C．
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5.(2018年齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4，若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，则m的取值范围为 .
εεε【答案】(－∞，－3] 【解析】f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6.因为?x∈R，由绝对值三角不等式得f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，所以m＋1≤－2，得m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3].
6．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)－
f(x2)|＜|x1－x2|恒成立”的序号为______________．
1
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝|x|；
x(3)f(x)＝2；(4)f(x)＝x.
【解析】(1)因为1＜x1＜2,1＜x2＜2，
x2
?11?|x1－x2|，
(1)|f(x1)－f(x2)|＝?－?＝
?x1x2?
x1x2
因为1＜x1x2＜4，所以|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|成立． (2)∵|f(x1)－f(x2)|＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|， ∴结论不成立，对于(3)，(4)取特殊值验证结论不成立．
7．已知f(x)＝1＋x定义在区间[－1,1]上，设x1，x2∈[－1,1]，且x1≠x2. 求证：|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
【解析】|f(x1)－f(x2)|＝|1＋x1－1＋x2|＝
2
2
2
2
2
|x1－x2||x1＋x2|1＋x＋1＋x21
22
. ∵|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，1＋x1＋1＋x2＞|x1|＋|x2|， ∴|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|.
B．能力提升
8．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( ) A．|a＋b|＋|a－b|＞2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2
B．|a＋b|＋|a－b|＜2 D．不可能比较大小
【答案】B 【解析】当a＋b与a－b同号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b＋a－b|＝2|a|＜2.当a＋b与a－b异号时，|a＋b|＋|a－b|＝|a＋b－a＋b|＝2|b|＜2.所以|a＋b|＋|a－b|＜2.
2019_2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式第4课时绝对值三角不等式课后提能训练新人教A版
