2009年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
x?99??f1． 若函数f?x??且f(n)?x??f?，则fffx???1?? ． ??????21?xn1【答案】
10【解析】 f?1??x??f?x??f?2?x1?x2， x?x??f??f?x?????x??x21?2x2
……
1?99x1故f?99??1??．
10f?99?．
2． 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，
在?ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．
【答案】 ?3，6? 9?a?，则圆心M到直线AC的距离d?AMsin45?，【解析】 设A?a，由直线AC与圆M相交，得d≤34． 2解得3≤a≤6．
?y≥0?3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为?y≤x，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t?1?y≤2?x?所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f?t?? ．
1 2【解析】 由题意知 【答案】 ?t2?t?f?t??S阴影部分面积
y ?S?AOB?S?OC?DS? BC112E ?1?t2??1?t?
22FBxOD12 ??t?t?
2
11114． 使不等式????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为 ．
n?1n?22n?13【答案】 2009
1111【解析】 设f?n??．显然f?n?单调递减，则由f?n?的最大值f?1??a?2007，可???n?1n?22n?13得a?2009．
A
x2y25． 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积OP?OQ的最小值为 ．
ab222ab【答案】 22
a?b【解析】 设P?OPcos?，OPsin??，
?π?π????Q?OQcos????，OQsin?????．
2?2?????由P，Q在椭圆上，有 cos2?sin2???2 ① 2a2bOP1sin2?cos2??? ② 2a2b2OQ1①+②得
1111???． 22a2b2OPOQ2a2b22a2b2于是当OP?OQ?时，OPOQ达到最小值22．
a2?b2a?b
6． 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根，那么k的取值范围是 ． 【答案】 k?0或k?4 ?kx?0??【解析】 ?x?1?0?2kx?x?1????当且仅当
kx?0 x?1?0
x2??2?k?x?1?0
① ② ③
对③由求根公式得
1x1，x2??k?2?k2?4k? ④
?2???k2?4k≥0?k≤0或k≥4．
(ⅰ)当k?0时，由③得 ?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12所以x1，x2同为负根． ?x1?1?0又由④知?
x?1?0?2所以原方程有一个解x1．
k?1?1． 2?x1?x2?k?2?0(ⅲ)当k?4时，由③得?
xx?1?0?12(ⅱ)当k?4时，原方程有一个解x?所以x1，x2同为正根，且x1?x2，不合题意，舍去． 综上可得k?0或k?4为所求．
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行
仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
【答案】 101?298 【解析】 易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d1?1，d2?2，d3?22，…，d99?298
(ⅲ)a100为所求．
设第n?n≥2?行的第一个数为an，则 an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2
n?3n?2?2??2an?2?2???2
n?4n?2n?2? ?22?2a?2?2?2?2n?3?????23an?3?3?2n?2
……
?2n?1a1??n?1??2n?2 ??n?1?2n?2
故a100?101?298．
8． 某车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站
的时间是相互独立的，其规律为 8∶10 8∶30 8∶50 到站时刻 9∶10 9∶30 9∶50 111 概率 623一旅客8． ∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间（分） 概率 10 30 50 70 90 1 21 311? 6611? 2611? 36候车时间的数学期望为
1111110??30??50??70??90??27
23361218
二、解答题
x2y21． （本小题满分14分）设直线l:y?kx?m（其中k，m为整数）与椭圆??1交于不同两点A，
1612x2y2B，与双曲线??1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量AC?BD?0，若存在，
412指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． ?y?kx?m?【解析】 由?x2y2消去y化简整理得
??1??1612?3?4k?x22?8kmx?4m2?48?0
设A?x1，y1?，B?x2，y2?，则x1?x2??8km
3?4k22?1??8km??4?3?4k2??4m2?48??0 ① ………………………………………………4分
?y?kx?m?由?x2y2消去y化简整理得
??1??412?3?k?x22?2kmx?m2?12?0
2km 23?km2?12?0 ② ………………………………………………8分
设C?x3，y4?，D?x4，y4?，则x3?x4??2???2km??4?3?k2??2?因为AC?BD?0，所以?x4?x2???x3?x1??0，此时?y4?y2???y3?y1??0．由x1?x2?x3?x4得
?8km2km． ?3?4k23?k2所以2km?0或?41．由上式解得k?0或m?0．当k?0时，由①和②得?3?4k23?k2?23?m?23．因m是整数，所以m的值为?3，?2，?1，0，1，2，3．当m?0，由①和②
得?3?k?3．因k是整数，所以k??1，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分
2． （本小题15分）已知p，q?q?0?是实数，方程x2?px?q?0有两个实根?，?，数列?an?满足
4，a1?p，a2?p2?q，an?pan?1?qan?2?n?3，?
(Ⅰ)求数列?an?的通项公式（用?，?表示）；
1(Ⅱ)若p?1，q?，求?an?的前n项和．
4【解析】 方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以
an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2，?n?3，4，5，?
整理得an??an?1???an?1??an?2? 2，令bn?an?1??an，则bn?1??bn?n?1，?．所以?bn?是公比为?的等比数列．
数列?bn?的首项为：
b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2．
22，所以bn??2??n?1??n?1，即an?1??an??n?1?n?1，?．所以an?1??an??n?1?n?1，2，?．
2，?变为①当??p2?4q?0时，????0，a1?p?????2?，an?1??an??n?1?n?1，2，an?1??an??n?1?n?1，?．整理得，
a1an?1??n?1an?n2，?1，?n?1，?．所以，数列??an?成n????公差为1的等差数列，其首项为
??2???2．所以
an?n?2?1?n?1??n?1．
于是数列?an?的通项公式为
an??n?1??n；……………………………………………………………………………5分
②当??p2?4q?0时，???， an?1??an??n?1
???n?1??an??
?????an??????n?1?????2，?n?1?n?1，?．
整理得
??n?2?n?1?2，an?1????an??，?n?1，?????????．
??n?1??2?2?2所以，数列?an?．所???????成公比为?的等比数列，其首项为a1????????????????n?1?2n?1以an???．
???????n?1??n?1于是数列?an?的通项公式为an?．………………………………………………10分
???11(Ⅱ)若p?1，q?，则??p2?4q?0，此时????．由第(Ⅰ)步的结果得，数列?an?的通项公
42?1?n?1式为an??n?1????n，所以，?an?的前n项和为
2?2?234nn?1sn??2?3??n?1?n
222221234nn?1 sn?2?3?4???22222n2n?113n?3以上两式相减，整理得sn??n?1
222n?3所以sn?3?n．……………………………………………………………………………15分
2n方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知????q?0，又????p，所以
a1????，a2??2??2???．
特征方程?2?p??q?0的两个根为?，?． 2，①当????0时，通项an??A1?A2n??n?n?1，?由a1?2?，a2?3?2得
???A1?A2???2? ?22???A1?2A2???3? 解得A1?A2?1．故 an??1?n??n．……………………………………………………5分 2，②当???时，通项an?A1?n?A2?n?n?1，?．由a1????，a2??2??2???得
??A1??A2????? ? 2222??A1??A2??????????? 解得A1?，A2?．故
????????n?1?n?1?n?1??n?1?? an?．…………………………………………………………10分 ?????????(Ⅱ)同方法一．
3． （本小题满分15分）求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值． 13?.因为 【解析】 函数的定义域为?0，y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x? ≥27?13 ?33?13
当x?0时等号成立．故y的最小值为33?13．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 y2??x?x?27?13?x?2
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准（A卷）
