哈三中四模数学模拟题
一、选择题： 1． 若集合M?xy??x?1，集合N?yy?x?2，那么M?N?
???A.?1,??? B.?1,??? C. ?0,??? D. ?0,???
2． 在?ABC中，A,B,C分别是?ABC的三个内角，下列选项中不是“A?B”成立．．
的充要条件的是
A.sinA?sinB B.cosA?cosB C.tanA?tanB D.sinA?sinB
222x2y2x与椭圆2?2?1(a?b?0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的3.直线y?2ab两焦点，则椭圆的离心率为 A.
3321 B. C. D.
23224. 从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不
同的抽取方法种数
23362?C4 A.C84?C4 B.C8 C.C12 D.A84?A4
5．设a,b是两个非零向量，且a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，那么a与
b的夹角为
A.
??2?? B. C. D. 4332??和，则异面346．长方体ABCD?A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面所成的角分别为直线B1C与C1D所成角的余弦值为
A.
3266 B. C. D.
66347．把直线x?y?3?1?0绕点(1,3)逆时针旋转15?后，所得直线方程为
A.3x?y?0 B.
3x?y?0
C.x?3y?2?0 D. x?3y?2?0 8．设函数f(x)的定义域是??4,4?，其图像如图，那么不等式A.??2,1? B. ??4,?2???1,4? C.??4,??????2,0???1,?? D.以上都不对
9．已知两点A(?1,0),B(0,2)，点P是曲线x?1?1?y2上任意一点，则?APB的面积的最大值、最小值分别为 A.2、
-4 f(x)?0的解集为 sinxy 1 -2 0 1 -1 4 X
4?534?5 B. 、
22255?25?2 D.、 2222C.4?5、
310．函数y?x?ax?bx?c当x??1时有极大值4，当x?5时有极小值，则这个极小值为
A.?104 B.24 C.96 D.104
2*11.数列?an?满足： a1?1,Sn?nan(n?N)则limSn=
n???A.1 B.2 C.
3 D.?1 212．某游戏中，一个珠子按如图所示的通道自上而下滑下，从下面六个口中滑出来，规定猜中者取胜，如果你在该游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为 A.
551 B. C. D.以上都不对
61632123456
二、填空题： 13.已知函数f(x)?11?1，则(x??1)f(?)?_ 31?x2514.在(1?x)6的展开式中，含x项的系数是通项公式为an?2n?6的数列的第
__________项
15.复数3??1?2i?的模为___________________
216.由命题“Rt⊿ABC中，两直角边长分别为a,b，斜边上的高为h，则
111”??h2a2b2可类比出命题“若三棱锥S?ABC的三条侧棱SA,SB,SC两两垂直，长分别为
a,b,c，底面ABC上的高为h，则 ”
三、简答题： 17. a?(cos3x3xxx?3?,sin),b?(?cos,sin)且x?[,] 222222① 求a?b及a?b
② 求f?x??a?b?a?b的最大值和最小值及相应的x值
18.一个房间有三扇窗户，其中只有一扇窗户是打开的，房中有一只小鸟，它只能从开着的窗户飞出，鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间，鸟飞向各扇窗户是随机的.
(1)假定鸟是没有记忆的，则这只鸟第四次试飞时飞出窗户的概率是多少？
(2)假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗户的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间，试写出y可能取的所有的值，并求取相应值时的概率。
19. 圆心S在x轴上的圆与直线l:3x?y?23?0交于点P,Q，S到l的距离为23，且OP?OQ?0（O为原点），求此圆的方程.
20.正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，且PA=2DE，已知平面PCE与平面ABCD所成的锐二面角大小为arctan2.
① 若F是PC中点，求异面直线PB与EF所成的角。 P ② 求二面角P-CE-D的大小。
F
A
B
21.数列?an?的前n项和Sn满足：Sn?2an?3n(n?N?) （1）求证：数列?an?3?是等比数列；
（2）数列?an?中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条
件的项；若不存在，请说明理由
222. 设关于x的一元二次方程2x?ax?2?0的两个根为?、? (???)，函数
E D C f(x)?4x?a. x2?1⑴求f(?)?f(?)的值；
⑵证明:f(x)是??,??上的增函数；
⑶当a为何值时，f(x)在区间??,??上的最大值与最小值之差最小.
哈尔滨第三中学数学四模答案
一、选择题：
（理）BCAABD BDBABA 填空题：
（理）13.-2 14 .6 15.4 16.三、简答题： 17题： ⑴a?b??cos1111 ???2222habc3xx3xx?3xx?cos?sinsin??cos??? 2222?22???cos2x 2分
3xx3xx??a?b??cos?cos,sin?sin?
2222??3xx??3xx??a?b??cos?cos???sin?sin?22??22??22?3xx??2?2cos????2?2cos2x??2cosx 4分
?22?当x????3??,?时，cosx???1,0?，∴a?b??0,2? 6分 ?22?2⑵由⑴，f(x)??cos2x?(?2cosx)??(2cosx?1)?2cosx?
1?3??2?cosx??? 8分
2?2?∵cosx???1,0?，∴当cosx?0时，f(x)取最大值1，此时x?2?2或3? 2 10分 当cosx??1时，f(x)取最小值-3，此时x??. 12分 18题：（1）这只鸟第四次试飞时飞出的概率是：
218()3?= 3381（2）可能取得值为：1，2，3。
1 3211 P(y?2)???
323211 P(y?3)???1?
323 P(y?1)?19.由题意设圆方程为：x?y?Dx?F?0
设交点P?x1,y1?,Q?x2,y2?
22??x?y?Dx?F?0 ? 整理得……………………………………2分
??y??3x?23224x2??D?12?x?12?F?0
?x1?x2?12?D12?F………………………………4分 ,x1?x2?44由OP?OQ?0,得x1?x2?y1?y2?0
?x1?x2?y1?y2?4x1?x2?6?x1?x2??12?6?F?3D?02①……………………6分
由点到直线的距离可知：圆心S???D?,0?代入距离公式得 ?2?d??D?3????23?2??23 得D=4 或D=-12 代入①
2得F=-12 或F=12 …………………………………………………… 10分
?圆的方程为：x2?y2?4x?12?0或x?y?12x?12?022…………………………12分
P 20．（1）如图；延长AD,PE是AD?PE?O，连结CO,BD
?PA//2DE?AD?DO?CD?AC?CO 又PA?面ABCD ?PA?CO??PCA为平面PCE与平面ABCD所成的角，
F A E D C B tan?PCA?PA?2?PA?4 AC
?DO//BC,DO?BC?EF//CO//BD
??PBD为PB与EF所成的角
PB2?BD2?PD210?在?PBD中，PB?PD?20,BD?22，cos?PBD?
2PB?BD10所以异面直线PB与EF所成的角为arccos1010
（2）?OA?面PAB，CB?面PAB??PAB为?PCO在面PAB内的射影； 设?为面PCO与面PAB所成的锐二面角，则cos??S?PABPA?PB3?? S?PCDPC?CO3设二面角P?CE?D的大小为?，又平面PAB//平面ECD 则????????arccos3 3*21．（1）当n?N时，有：Sn?2an?3n,?Sn?1?2an?1?3(n?1)………………1分
两式相减得：an?1?2an?3,?an?1?3?2(an?3) ………………4分 又a1?S1?2a1?3,?a1?3,a1?3?6?0
?数列?an?3?是以6为首项，以2为公比的等比数列 ………………6分
（2） 由(1)可得an?3?2n?3………………7分
假设数列?an?中存在三项ar,as,at（r?s?t)它们可以构成等差数列 ?ar?as?at?只能是ar?at?2as，………………8分
rts?1 ?(3?2r?3)?(3?2t?3)?2(3?2s?3)，即2?2?2
?1?2t?r?2s?1?r （*） ………………10分
?r?s?t,r,s,t均为正整数
?（*）式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立。
因此数列?an?中不存在可以构成等差数列的三项
????a2?16?022．解：（1）由已知??????a?2
??????1∴f(?)f(?)?4??a?2?1?4??a?2?1 ＝16???4a(???)?a2(??)2??2??2?1??16?2a2?a2??16?a2??4
1?a2a24?2?14?4（2）证明：令??x1?x2??
f(x(x2?x1)[4x1x2?4?a(x1?x2)]1)?f(x2)?(x22?1)
1?1)(x2∵(x1??)(x2??)?0,(x1??)(x2??)?0
∴2x1x2?(???)(x1?x2)?2???0 , 4x1x2?a(x1?x2)?4?0 又x2?x1?0，(x221?1)(x2?1)?0∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)
∴f(x)在[?,?]单调递增函数 注：此问还可求导做 理
（
3
）
解
：
∵
f(?)f(?)??4?0f(?)?f(?)?|f(?)|?|f(?)|?2|f(?)f(?)|?4
( 当且仅当f(?)??f(?)时取等号)
4??a∴f(?)?2即?2?1?2????a?0 2?2?a??2?0??∴
哈三中四模数学模拟题
