显然??∈(??，)，而??∈(??，)，??(??)=?????????，??′(??)=?????????，
22??=?????????
∴{， ????=?????????∴
(1+??2)??????2??
??
3??3??
=
(1+??2)?2????????????????
??
=
(1+??2)?2(?????)?(???)
??
=(??+????)?
??????=2k2+2（kθ）2＝2（cos2θ+sin2θ）＝2． 故选：D．
8．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学．现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）
27
37
8
2021
A． B． C．
21
D． 【分析】基本事件总数n=??????=126，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：
????????m=??????????????????????=120，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．
解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾． 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，
其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学． 现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，
基本事件总数n=??????=126，
每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：
????????m=??????????????????????=120，
则每个宣传小组至少选派1人的概率为P=故选：D．
??12020
==． ??12621B，9．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|=，则32
3
2|????||????|
=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值．
323
+m，由抛物线的方程可得：F（1，0）， 2解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|=可得|AF|=
B分别作准线的垂线交于A'，B'，OF分别于C，D点， 过A，过B作AA'的垂线交AA'，
????????
????????
??+2??则△BFD∽△BAC，所以
33
+2232=
，即32=
2???
32，解得：m=，
32所以
????
????
==2，
故选：B．
10．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球
的表面积为（ ）
A．16π B．12π C．9π D．8π
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥体． 如图所示：
所以该三棱锥体的外接球的球心为O，外接球的半径为OA＝r， 则：????=(?????)??+(√??)??，解得????=．
4故S=????×故选：C．
11．已知函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）＝1+lnx，f（e）=，当x＞0时，下列说法正确的是（ ）
1??9
=????． 49
①f（x）只有一个零点； ②f（x）有两个零点； ③f（x）有一个极小值点； ④f（x）有一个极大值点 A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
????????+??
，??2fx）'x）【分析】令g（x）＝x2（，则g（＝1+lnx，所以g（x）＝x?lnx+C，即??(??)=由f（e）=
??+??11?????????????=，解得C＝0，所以??(??)=，求导得??′(??)=，利用导数可2????????21
??求出函数f（x）的单调区间，进而得f（x）在x＝e处取得极大值f（e）=，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又f（1）＝0，且当x＞e时，f（x）＞0恒成立，所以f（x）只有一个零点为x＝1，从而可对①和②作出判断．
解：令g（x）＝x2f（x），则g'（x）＝x2f′（x）+2xf（x）＝1+lnx，∴g（x）＝x?lnx+C，即x2f（x）＝x?lnx+C， ∴??(??)=
????????+??
， ??2??+??11?????????????
C0=，∴＝，∴，， ??′(??)=??(??)=??????2??2∵f（e）=
当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
1
??∴f（x）在x＝e处取得极大值f（e）=，而这也是最大值，即③错误，④正确； 又∵f（1）＝0，且当x＞e时，f（x）＞0恒成立， ∴f（x）只有一个零点为x＝1，即①正确，②错误． ∴正确的有①④， 故选：B．
12．已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C
两点．若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（ ）
32A．√ 4
33B．√ 4
35C．√
4
3+√54
D． 【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论．
解：如图：连接AC，BD；设双曲线的焦距AD＝2c；实轴长为2a；则BD﹣AB＝AC﹣AD＝2a；
设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，依题意，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，
在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2√??????； 在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14√??????； 整理得：√??（c2﹣a2）＝m（√??a+c）；√??（c2﹣a2）＝7m（√??a﹣c）； 两式相结合得：√??a+c＝7（√??a﹣c）?6√??a＝8c；
√
∴双曲线Γ的离心率为e=??=32；
??4故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
湖北省宜昌一中、龙泉中学2020届高三6月联考数学(理科)试题(解析版)
