初中数学竞赛辅导资料(3)
配方法
甲内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式
常用的有以下三种： ①
a2± 2ab配上b2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
① 用完全平方式来因式分解
例如：把x4+4因式分解.
原式=x4+4 + 4x2 — 4x2=(x2+2)2 — 4x2= ..... 这是由a2+b2配上2ab.
② 二次根式化简常用公式： 戮￡2 = a，这就需要把被开方数写成完全平方式
例如：化简.5-2.6.
我们把5— 2 ,6写成2— 2 2 3 + 3 =(2)2 — 2 2.3 + (..3)2
.
由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2± 2ab+b2写成完全平方式
(a± b)2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式
=(-..2 — .. 3 ) 2.
这是由2 ab配上a2+b2.
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值
当a=0时， a2的值为0是最小值.b5E2RGbCAP 例如：求代数式a2+2a — 2的最值.
?即?/ a2> 0,
T a2+2a— 2= a2+2a+1 — 3=(a+1)2— 3
当a=— 1时，a2+2a— 2有最小值一 3. 这是由a2 ± 2ab配上b2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方
例如::求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.
2
2
.
解：方程 x +y +2x-4y+1 + 4= 0. 配方的可化为 (x+1) 2+(y — 2)2=0.
'x +1 = 0
要使等式成立，必须且只需 丿
丿-2=0
.
解得
x = -1
^ = 2
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧
乙例题 例 1.
因式分解：a2b2— a2+4ab— b2+1.
=(ab+1) 2— (a— b)2 =(ab+1+a-b) (ab+1-a+b)
(配方)
(用平方差公式分解)
解：a b — a +4ab— b +1 = a b +2 ab+1+( — a +2 ab— b ) (折项，分组)
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想 例2. 化简下列二次根式： ①.7 43 ；
②.2 一 . 3 ；
③ 10 -4_3
2 2 .
解：化简的关键是把被开方数配方
① 7 ■ 41 3 = ■■, 4 ■ 2 21 3
3 = ： (2 亠「3)2
=2 亠■. 3 = 2 +、. 3.
② C =；2
二
3
= .. 4；3 =
(罗
2
=<2^;3-1) = <6 - <2
2 2 '
③.10 -4 .'3 2 2 = 10 -4 . ( 2
=,10 -4(, 2+1) =.6-4.2 = ..4-2 2、2
1)2
2 = .(2-、2)2
例3.
求下列代数式的最大或最小值:
22—2x— ② ① x+5x+1;
6x+1
5 '5) 25 +1 解：① x +5X+1 ：x +2 X 一 —1 — ⑵'2
/ 5、 2 21 =(x+—) — ---
4 2
2
严 、2
???( x+ ) 2> 0，其中 0疋最小值
2 5 21
即当x= 时，2 x +5x+1有最小值一 4
1
5
②一2x2— 6x+1 =— 2 (/+3x-—)
2
2
3 9 9 1 =一 2(x +2 X 2 x+ - 4 一)
4 2
c /
3 、 2 11
=—2 (x+ )
+ -
2 2
?.?一 2 (x+3 ) 2 < 0,其中0是最大值，
2
3
2
11
???当x= ---- 时，一2x — 6x+1有最大值 一.
2 2
例4. 解下列方程：
①x4 — x2+2xy+y2+1=0 ； ②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解：①(x4 — 2x2 + 1) + ( x2+2xy+y2) =0 .(折项，分组)
2 2 2
(x — 1) +(x+y) =0.
(配方)
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”
Cx 2
—1=0 X + y = 0
② x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2 — 2y+1=0 .(折项，分组) (x+y)2+6 (x+y) +9+y2 — 2y+1=0. (x+y+3) +(y2
— 1) 2
= 0.
(配方)
'x + y +3 =0
畀—1 =0 (X -4)2
2 r 2
￡
\或」 r
2 2
(x—4) =9 . (x—4) =16 Q+5)
=25 (—丄丫+5))2=25 或］ 2=0
2 或」
2
例已知：a, b, c, 写出都是整数且m=a4+5) =16 Q+5) =9
2+b2, n=c2+d2,则mn也可以表示为两个整数的平方和，试5.
其形式.
(1986年全国初中数学联赛题)
p1EanqFDPw
解: mn=( a +b )( c +d )= a c+ +a d +b c + b d
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
=a c + b d +2abcd+ a d +b c — 2abcd
(分组，添项)DXDiTa9E3d
2 2
例6.
求方程=(ac+bd) +(ad-bc)
x2+y2-4x+10y+16=0的整数解
解: x2-4x+16+y2
+10y+25=25
(添项) (x— 4) 2+(y+5)2= 25
(配方)
?/ 25折成两个整数的平方和，只能是 0和25 ; 9和16.
x -4 = 0 + x = 4
)+5=5 得丿
= 0
同理，共有12个解
x =4 x=9 ■= 一1
』=T° 、y=-5、 y 一5
丙练习47
1. 因式分解：
① x4+x2y2+y4 ; 2. 化简下列二次根式：
② x-2xy+y-6x+6y+9 ;
(-? 22 4 2 2 ③x +x -2ax-a +1.RTCrpUDGiT ① 4x2 12x 9 - J4x2「20x 25 2 2 X4 ③ 2 4 X x— . x 2 3x 2 17-12.2 ; ⑤ 114 4-2 3 ; ⑦匚 14+ 6 .、5 ） + （ 3 + .、5 ）; 3求下列代数式的最大或最小值： ① 2x +10x+1 ; 2 3-x) 2+ x2 -8x 16. 1 2 ②一一 x +x-1. 2 a亠b 4?已知：a2+b2— 4a— 2b+5 .求： 值. 2 2 2 ^ 的 <3-2J? 5. 已知：a+b+c=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c 的值. 6. 已知：实数 a, b, c满足等式a+b+c=0, abc=8 . 1 1 1 试判断代数式 a b c 值的正负. （佃87年全国初中数学联赛题） 7. 已知:x=19 - 8.3 . x4 -6x3 -2x2 求： 2 16x 23 . （佃86年全国初中数学联赛题） a=b=c. x -8x+15 8. 已知：a2+c?+2(b2-ab-bc)=0 . 求证: 9. 解方程： ① x2-4xy+5y2-6y+9 ; ③ 5x +6xy+2y -14x-8y+10=0. 10. 求下列方程的整数解： ◎ ( 2x-y — 2) 2+ (x+y+2)2=5; 2 2 ② x -6xy+y +10y+25=0.
初中数学九年级《配方法》培优竞赛辅导导学讲义
