初高中数学衔接知识
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数 学
学高中数学的几点建议：
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同角度和数学规律，老师为备战高考而加的课外知识。 记录下来本章最有价值的思想方法和例题，以及还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学结论，使自己平时的运算技能达到了自动化熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
6、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化
7、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
初高中数学衔接教材
现有初高中数学知识存在以下“脱节”
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定
理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
1.1 数与式的运算
1.1.1．绝对值
一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零
?a,a?的绝对值仍是零．即|a|??0,?0,a?0,
???a,a?0. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 二、典型例题：
例1 解不等式：|x?1|?4
解法一：由x?1?0，得x?1；
①若x?1，不等式可变为?(x?1)?4，即1?x?4，得x??3，又x＜1， ∴x＜-3；
②若1?x，不等式可变为(x?1)?4， 即x?5 又x?1 ∴ x?5
综上所述，原不等式的解为x??3或x?5。
解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间
的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；
所以|x?1|?4的几何意义即为 ：|PA|＞4．
P C A D 可知点P 在点C(坐标为-3)的左侧、或点P在 x -3 1 5 x 点D(坐标5)的右侧． ∴ x??3或x?5。 |x－1| 1．填空：
图1．1－1 （1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.
（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________. 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．解不等式：|x?2|?3 4、化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
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1.1.2. 乘法公式
一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；
必（2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；
须记（3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； 住（4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3；
（5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3．
二、典型例题
例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．
解法一：原式=(x2?1)??(x2?1)2?x2?? =(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1． 解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8． 练 习
1．填空：（1）
19a2?12114b?(2b?3a)（ ）； （2）(4m? )2?16m2?4m?( )；
(3 ) (a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2. 选择题：
（1）若x2?12mx?k是一个完全平方式，则k等于（ ）
（A）m2 （B）121214m （C）3m （D）
16m2
（2）不论a，b为何实数，a2?b2?2a?4b?8的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一、概念：一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?2x?1，x2?2xy?y2，a22等是有理式． 1．分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有理化．为了进行分母有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与
ax?b互为有理化因式．
分母有理化的方法：是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程
2．二次根式a2的意义 a2?a???a,a?0,??a,a?0.
二、典型例题
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)．
解： （1）12b?23b； （2）a2b?ab?ab(a?0)；
（3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．
例2 计算：3?(3?3)． 解一：3?(3?3)＝33?(3?3)3?3＝33(3?1)3?1(3?3)(3?3) ＝3?39?3 ＝6＝2．解二：3?(3?3)＝333?3 ＝3(3?1) ＝13?13?1＝(3?1)(3?1)＝
3?12．
例3 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．
解：原式 ＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2)
＝??(3?2)?(3?2)?2004??(3?2)
＝12004?(3?2) - 1 -
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