第三编 导数及其应用
§3.1 变化率与导数、导数的计算
一、选择题(每小题7分，共42分)
13
1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，
32
那么速度为零的时刻是 ( ) A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末
13
解析 ∵s＝t3－t2＋2t，
32∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.
答案 D 2．(2009·临沂模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距 离为 ( )
2
A．1 B.2 C. D.3
2解析 过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－ln x相切，设P(x0，x20－ln x0)，则k
1
＝y′|x＝x0＝2x0－，
x0
11
∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)．
x02|1－1－2|
∴P(1,1)，∴d＝＝2. 1＋1
答案 B 3．(2009·潮州一模)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( ) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析 y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)， 整理得4x－y－3＝0. 答案 A 4．(2010·聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
92e2
22
A.e B．2e C．e D. 42解析 ∵点(2，e2)在曲线上， ∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，
∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0. 与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，
1e2
2
∴S△＝×1×e＝. 22
答案 D 5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2
解析 设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
1
又y′＝，
x＋a
1
∴y′|x＝x0 ＝＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，
x0＋a
∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2. 答案 B
5πsin θ33cos θ2
0，?，则导数f′(1) 6．(2009·安徽文，9)设函数f(x)＝x＋x＋tan θ，其中θ∈??12?32
的取值范围是 ( ) A．[－2,2] B．[2，3] C．[3，2] D．[2，2] 解析 由已知f′(x)＝sin θ·x2＋3cos θ·x，
πθ＋?， ∴f′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin??3?5πππ3π0，?.∴≤θ＋≤， 又θ∈??12?334
π2
θ＋?≤1，∴2≤f′(1)≤2. ∴≤sin??3?2
答案 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段 ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），
f(1＋Δx)－f(1)
则f（f（0））= ；0 ＝________.
Δx
(用数字作答) 解析 由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB所在直线的方程为f(x)＝－2x＋4 (0≤x≤2)．同理BC 所在直线的方程为f(x)＝x－2 (2 ??－2x＋4 (0≤x≤2)， 所以f(x)＝? ??x－2 (2 所以f(0)＝4，f(4)＝2. lim?x?0f(1??x)?f(1)?f?(1)??2. ?x答案 2 －2 8．(2009·福建理，14)若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 ________． 1 解析 ∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)， x 1 ∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解． x1 即a＝－5在(0，＋∞)上有解． 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－5∈(－∞，0)． 5x ∴a∈(－∞，0)． 答案 (－∞，0) 9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________． 解析 设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：y′|x＝x0＝3x2∴x2∴y0＝15.∴P0－10＝2，0＝4.∴x0＝－2，点的坐标为(－2,15)． 答案 (－2,15) 三、解答题(共40分) 10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程． 解 f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k. (1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为y＝2x. (2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)， 22 则有y0＝x30－3x0＋2x0，k＝f′(x0)＝3x0－6x0＋2，① y0 又k＝＝x2－3x0＋2，② x00 3y01 由①②得x0＝，k＝＝－. 2x04 1 ∴所求曲线的切线方程为y＝－x. 4 11．(13分)(2010·绍兴月考)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一 个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c. 解 因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)， 所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2. g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab. 又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线， 所以f′(t)＝g′(t)． 而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt. 将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3. 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3. 9 12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx， 2 使切点P在第一象限． (1)求k的值； (2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 解 (1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1.① 92＋x－4.② y1＝－x1 21 9??k－①代入②得x2＋1 ?2?x1＋4＝0. 9 k－?2－16＝0， ∵P为切点，∴Δ＝??2?171得k＝或k＝. 2217 当k＝时，x1＝－2，y1＝－17. 21 当k＝时，x1＝2，y1＝1. 2 1 ∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝. 2 (2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③ 13 将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0. 2设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9， 9 ∴x2＝，y2＝－4. 2 ?9?∴Q点的坐标为?，－4?. ?2? §3.2 导数的应用 一、选择题(每小题7分，共42分) 1．(2010·聊城模拟)函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( ) 30，? A．(0,3) B.??2? C．(0，＋∞) D．(－∞，3) 2a 解析 令y′＝3x2－2a＝0，得x＝± (a>0，否则函数y为单调增函数)．若函数y＝x3 32a3 －2ax＋a在(0,1)内有极小值，则 <1，∴0 32 答案 B 2．(2010·福州模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是 ( ) A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不对 解析 ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37. 答案 A 3.(2008·福建文，11)如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( ) 解析 由y＝f(x)的图象可知其单调性从左向右依次为增减增减，所以其导数y＝f′(x)的函数值依次为正负正负．由此可排除B、C、D. 答案 A 1 4．(2008·湖北理，7)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 2 ( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) b 解析 由题意知f′(x)＝－x＋≤0，x∈(－1，＋∞)， x＋2－x2－2x＋b 即f′(x)＝≤0， x＋2即－x2－2x＋b＝－(x＋1)2＋1＋b≤0. ∴1＋b≤0，b≤－1. 答案 C 5．(2009·济宁联考)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( ) A．(0,1) B．(－∞，1) 10，? C．(0，＋∞) D.??2?解析 ∵f′(x)=3x2-6b，由题意，函数f′(x)图象如右． ?f?(0)?0, ??f(1)?0,??6b?0,1即?得0 2?3?6b?0,∴?答案 D 6．(2009·潍坊模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则 A．a＝－11，b＝4 B．a＝－4，b＝11 C．a＝11，b＝－4 D．a＝4，b＝－11 解析 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2， 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， ( ) ???f′(1)＝0，?2a＋b＋3＝0，根据已知条件?即? 2 ???f(1)＝10，?a＋a＋b＋1＝10.???a＝4，?a＝－3， 解得?或?(经检验应舍去) ?b＝－11，???b＝3. 答案 D 二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2009·江苏，3)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． 解析 ∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0得－1
2011高三数学(理)一轮复习定时检测 导数及其应用 新人教版
