第八章 小波分析理论及应用
现在，每一级小波变换由两步构成：首先计算小波系数，其次提升下采样系数。逆变换可立即得到：只需把式(8.4-6)中的加号换成减号，再把式(8.4-5)的等式中的项作一下移动即可。整个计算过程如图8.4-1所示：
?j,2k?1
?j,2k ?j?1,k ?j,2k?2
(a) 小波系数的几何含义
… ?j,2k ?j,2k?1 ?j,2k?2 …
-1/2 -1/2 -1/2 -1/2 … ?j,2k ?j?1,k ?j,2k?2 …
1/4 1/4 1/4 1/4 … ?j?1,k ?j?1,k ?j?1,k …
(b) 分解过程
图8.4-1 提升方案示意图
从图8.4-1中可以看出，在进行小波变换时，可进行同址运算，即不需要辅助存储
器，这对硬件实现十分有利。下面的定理给出提升方案的一般方法。
~oldold~old,H定理8.4-1 给定双正交滤波器算子的初始集合Hold，那么可通过如下方jj,Gj,Gj~~法获得一个新的双正交滤波器算子集Hj,Hj,Gj,Gj
????Hj?Holdj~old~~Hj?Hold?SGjjjGj?G?SH~~Gj?Goldjoldj*joldj
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第八章 小波分析理论及应用
式中Sj是一个从l2?M?j??到l2?K?j??的算子。 证明：利用矩阵形式表示提升方案
~~?Hj??1S??Hold?j?~????~old? ??Gj???01?????Gj??Hj??1?G???*?j???S?0??Holdj?old? ?1???Gj???1S??1?S??10?因为 ???01???01? 01??????~?Hj?*有 ?~?Hj??Gj???~old??*old*old?1?S?1SH??j*Gj??Gj??Hj~old??G? 0101??????j?????根据双正交滤波器的定义有
~?Hold?*oldj?~old?Hj??Gj???G*jold?????100? 1??~?Hj?*所以 ?~?Hj??Gj????1S??10??1?S??10?G????01??01???01? (8.4-7) 01????????*j??H*j~??HjG*j?~??Gj?????H另外
???*oldj?H*j?H*joldoldold?1?S??1S??Hj?G??01??01??Gold??????j?? (8.4-8)
old0??Hj?old?1G*j????Gold01????j??ld?Ho?j*oldGj?old??1G??j??*oldj???根据定义，满足式(8.4-7)(8.4-8)两式的即为双正交滤波器。 证毕。
8.4.2 把小波变换分解成基本的提升步骤[6] 已经证明所有FIR小波滤波器都有能分解成基本的提升步骤[6]。用矩阵表示时，一个提升步骤对应一个单元(elementary)矩阵。分解的基本理论依据是矩阵代数，根据矩阵代数，任何具有多项式元素项且行列式为1的矩阵都可以分解成一系列的单元矩阵。 首先把求自然数的最大公约数的Euclidean算法推广到求两个多项式的最大公因子。
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第八章 小波分析理论及应用
两个多项式的公因子取决于因子zp,而且与自然数不同的是，在多项式的情形下，解并不是唯一的。
定理8.4-2 （多项式的Euclidean 算法）。设有两个多项式a?z?和b?z??0，而且a?z??b?z?。令a0?z??a?z?，b0?z??b?z?，从i=0开始循环执行以下步骤
ai?1?z??bi?z?bi?1?z??ai?z?%bi?z?
那么an?z??gcd?a?z?,b?z??，如果n是使得bn?z??0的最小数。
定理中a?z?定义为：若a?z??k?kb?akekz?k，则a?z??ke?kb。
用矩阵形式表示为
1??a?z???an?0??1?0??0???1?q?z???b?z??
??i?n?i???相应地
n?a?z???qi?z?1??an?z?? ??b?z????1???0??0???i?1?式中n?b?z??1。这样，an?z?能整除a?z?、b?z?，如果an?z?是一个单项式的话，那么
a?z?,b?z?是互素的。 为了把FIR小波滤波器(h, g)分解成基本的提升步骤，我们首先注意到he?z?,ho?z?必须是互素的[78]，而且，利用公约数的不唯一性，总是可以使公约数为常量K，即
n?he?z???qi?z?1??K?? ?h?z????1???0??0??o?i?1?对于给定的滤波器h，通过如下操作，总可以找到一个互补滤波器g0， 即令
0?he?z?ge?z??n?qi?z?1??K0?P?z??? (8.4-9) ???????00??01/K??ho?z?go?z??i?1?10在式(8.4-9)中
0??qi?z?1??1qi?z???01??01??1?1???0??10???10??q?z?1? (8.4-10) 01?????????i?当i为奇时使用式(8.4-10)的第一个等式，当i为偶时使用第二个等式，有
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第八章 小波分析理论及应用
0??K0??1q2i?1?z???1P?z??????q?z?1??01/K? (8.4-11) 01i?1???2i???0n/2通过一个提升步骤可获得滤波器g，
?1s?z?? P?z??P0?z????01?由以上分析可得如下定理
定理8.4-3 给定互补滤波器对(h, g)，那么总是存在多项式si?z?和ti?z?，1?i?n，以及一个常量K，使得
0??1si?z???10??K P?z???????????tz11??ii?1?0??01/K?n~~与对偶滤波器对h,g相关的多相(polyphase)矩阵为
n?1~P?z?????1i?1??siz????0??1?tiz?1?1?1??0????1/K????00? ?K?~在正交小波滤波器时有P?z??P?z?，这就对应着两种不同的分解，也就是说，把FIR小波滤波器分解成基本的提升步骤时，分解是不唯一的。
利用提升方案进行的小波变换如图8.4-2所示：
2 1 … 1/K LP s1(z) t1?z? sm?z? tm?z? z 1 2 … K HP
(a)利用提升方案进行的小波分解示意图
LP K + … + 1 2 + tm?z? sm?z? t1?z? s1?z? HP 1/K + … + 1 2 z?1 (b) 利用提升方案进行的小波重构示意图
图8.4-2 利用提升方案进行分解与重构
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第八章 小波分析理论及应用
作为例子，下面给出对具有两阶消失矩的D4正交小波的分解：
h?z??h0?h1z?1?h22z??h3z?3 g?z???h3z2?h12z?h?11?h0z
其中
h1?33?30?42,h1?42,h?32?342,h1?33?42
多相矩阵是
P?z??P~?z????h0?h2z?1?h3z1?h1??h?h?113zh1? 2z?h0?因式分解是
0??3?1P?z??P~?z????1?3??1?1z??0???01??3???4?3?24z?11????2??01????3?1???02??使用式(8.4-12)作为P(z)的分解，则分析用的多相矩阵为
??3?10??P~?1/z?t??20??133?2???3?1????1??11????4??02?z14z??10?????0???31?? 由此可得小波分解算法
d?1?l?x2l?1?3x2ls?1?l?x2l?3/4d?1?l??3?2?/4d?1?l?1d?2??d?1?1?ll?s?l?1
s?1?l???3?1?/2sldl?3?1?/2d?2?l由分解算法，通过反向进行操作，并改变相应的符号可得重构算法
d?2?l??3?1?/2dls?1?l??3?1?/2sld?1??d?2??1?ll?sl?1
x2l?s?1?l?3/4d?1?l??3?2?/4d?1?l?1x?1?2l?1?dl?3x2l
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(8.4-12)
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