第八章 小波分析理论及应用
Cj?1,m?k?????C?j,kh*?k?2m? (8.3-26)
Dj?1,m??k???*Cg?j,k?k?2m? (8.3-27)
Cj,k?m????h?k?2m?Cj?1,m?m????g?k?2m?D?j?1,m (8.3-28)
?**引入无穷矩阵H??Hm,k??，，其中???k?2m?H?hk?2m,G?g??G?Gm,km;k???m,km,km;k???则式(8.3-26)、(8.3-27)和(8.3-28)可分别表示为：
?Cj?1?HCj??Dj?1?GCj和 Cj?H*Cj?1?G*Dj?1,j?0,1,?,J (8.3-29)
j?J,J?1,?,1,0 (8.3-30)
其中H*,G*分别是H和G的共轭转置矩阵。
式(8.3-29)为Mallat一维分解算法，式(8.3-30)为Mallat一维重构算法，如图8.3-2所
示：
H H H
C0 C1 C2 C3
G G G
D1 D2 D3
(a)分解算法
H* H* H*
C0 C1 C2 C3 G G G D1 D2 D3
(b)重构算法
图8.3-2 Mallat小波分解和重构算法示意图
*
*
*
利用Mallat分解与重构算法进行信号处理时，不必知道具体的小波函数是什么样的，
此外，在对数字信号进行处理时，通常假定相应的连续函数属于V0，但即使如此，该函
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第八章 小波分析理论及应用
数在V0空间的投影的系数与由采样得到的离散序列一般不一样，但实际上都是直接把由采样得到的信号作为最高分辨率的信号来处理，这时更多的是把小波变换当作滤波器组来看待。
在实际应用Mallat算法时，由于实际信号都是有限长的，存在如何处理边界的问题。比较常用的方法是周期扩展和反射扩展。主要目的是要降低边界不连续性所产生的在边界上变换系数衰减慢的问题。
8.3.6 二维Mallat算法
在进行图像处理时要用到二维小波变换，目前研究中主要以可分离小波为主，下面的定理给出了构造二维可分离正交小波基的方法。
定理8.3-1[12] 令Vj2?j?Z?是L2R2的可分离多分辨分析，并令??x,y????x???y?是相应的二维尺度函数，若定义三个“二维小波” ??x?是与尺度函数对应的一维标准正交小波。
??1?x,y????x???y??2???x,y????x???y? (8.3-31) ??3?x,y????x???y????则
?2?j?12?jx?m,2?jy?n??j2?j?j?2?2x?m,2y?n,?2?j?32?jx?m,2?jy?n???????m,n??Z?2 (8.3-32)
分别是L2R2内的标准正交基。
设f?f?x,y??Vj2为待分析的图像信号，其二维逼近图像为
23Ajf?Aj?1f?D1j?1f?Dj?1f?Dj?1f (8.3-33)
??式中
Aj?1f?Dij?1f?m???n???????C?m,n???m,n?j?1j?1?? (8.3-34)
ij?1j?1m???n?????D?m,n???m,n?,??i?1,2,3利用尺度函数和小波函数的正交性，由式(8.3-32)、(8.3-33)和(8.3-34)立即得
Cj?1?m,n??k???l?????h?k?2m?h?l?2n?C?k,l? (8.3-35)
j
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以及
???1?Dj?1???h?k?2m?g?l?2n?Cj?k,l?k???l???????2?Dj?1???g?k?2m?h?l?2n?Cj?k,l? (8.3-36)
k???k???????D3?g?k?2m?g?l?2n?Cj?k,l???j?1k????l????引入矩阵算子，令Hr和Hc分别代表用尺度滤波器系数对阵列?Ck,l??k,l??Z2的行和列作用的算子，Gr和Gc分别表示用小波滤波器系数对行和列作用的算子，二维Mallat分解算法为
?Cj?1?HrHcCj?D1?HGC?j?1rcj,?2?Dj?1?GrHcCj3?D?j?1?GrGcCjj?0,1,?,J (8.3-37)
二维Mallat重构算法为：
****2*3Cj?Hr*HcCj?1?Hr*GcDj?1?Gr*HcDj?1?Gr*GcDj?1 (8.3-38)
图8.3-3示出了二维图像的分解和重构算法：
对行滤波 对列滤波
G 2 1 Aj?1f G 2 1 H 2 1 Dj?1f Ajf G 2 1 Dj?1f H 2 1 H 2 1 Dj?1f
(a) 分解算法示意图
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Aj?1f 1 2 G 1 2 G D1j?1f 1 2 H Ajf
D2j?1f 1 2 G 1 2 H D3j?1f 1 2 H
(b) 重构算法示意图
图例 2 1 下采样：对列滤波时，两列去一列，对行滤波时，两行去一行 1 2 上采样：对列滤波时，两列中加0，对行滤波时，两行中加0
图8.3-3 二维Mallat小波分解和重构算法示意图
对图2.2-3所示的二维小波分解与重构算法，利用其可分离特性，在算法实现时分
别由对行进行一维小波变换，然后再对按行变换后的数据按列进行一维小波变换来完成。与一维的情形类似，在实际应用中，由于图像信号总是有限区域的，也存在如何处理边界的问题。典型的处理方法是周期扩展和反射扩展。在用小波变换进行图像压缩时，由于边界的不连续性，会使得在边界处的小波变换系数的衰减变慢，从而影响图像的压缩比，因而在图像压缩应用中，若使用的是具有对称性质的双正交小波滤波器，一般对边界采用反射扩展的方式，使边界保持连续，以提高压缩性能。
8.4 利用提升方案(Lifting Scheme)构造小波 8.4.1提升方案的基本原理
小波函数?j,k?t?通常定义为一个属于L2?R?空间的母小波的二进伸缩(Dilates)和平移(Translate)：
?j,k?t??2j/2??2jt?k? (8.4-1)
这样的小波称为第一代小波。然而，在更一般的情况下，小波并不必须是彼此的伸缩与平移，但仍然具有第一代小波的特点，这样的小波称为第二代小波，利用提升方案可以构造它们。 第一代小波具有如下性质：
P1：是L2?R?空间的Riesz基，还是Lebesgue、Lipschitz、Sobolev和Besov空间的无条件基。
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P2：小波及其对偶在空间和频域是局域化的，有些小波还是紧支的。 P3：小波分析可纳入多分辨分析的框架，这导致了快速小波变换算法。 在研究中常有如下需要：
G1：第一代小波提供了定义在Rn上函数的基，但在象数据分割、在一般定义域上的微分和积分方程的求解，需要定义在任意的、可能不光滑的域上的小波。
G2：第一代小波典型地只提供具有不变测度的空间的基，而微分方程的对角化、在曲线或表面上的分析等需要可适应加权测度的基。
G3：第一代小波隐含对数据进行规则采样，而实际问题经常要处理不规则采样的数据。 具有性质P1-P3而又满足G1-G3性质的第一代小波的推广称为第二代小波。这儿的关键问题是平移与伸缩并不是属性P1-P3所必须的，放弃平移和伸缩，隐含着傅里叶变换不能再用作构造工具。下面介绍利用提升方案构造第二代小波的方法。
考虑信号X??xk|xk?R?k?Z，把X分成二个不相交的集合：偶下标采样Xe??x2k?k?Z和奇下标采样Xo??x2k?1?k?Z，通常情况下这两个集合是紧密相关的，因而从一个集合能很好地建立另一个集合的预测P
d?xe?P?xo? (8.4-2)
知道了d和奇采样值，可立即恢复信号
xe?d?P?xo? (8.4-3)
若P性能好，则d将是一个稀疏集，换言之，我们期望d的一阶熵小于xo的。 令 ?0,2k?x2k,?0,2k?1?x2k?1,k?Z 取 ??1,k??0,2k,k?Z (8.4-4) 利用相邻两偶采样对奇采样进行预测，记下差值
1??1,k??0,2k?1????1,k???1,k?1? (8.4-5)
2若信号是相关的，则大多数小波系数??1,k将很小。在理论上，我们可以继续通过对
????1,kk?Z施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引入另一个条件，即
1??0,k，此前所2k希望?j,k系数的平均值在每一次分解时保持一致，或者说使?k??1,k?进行的下采样很显然不具有这种特点，我们可通过借助于??1,k对??1,k进行提升来实现这点：
??1,k??'?1,k?1???1,k?1???1,k? (8.4-6) 4
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