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初一奥数数学竞赛第四讲 一元一次方程

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(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.

解 按未知数x整理方程得

(k2-2k)x=k2-5k.

要使方程的解为正数,需要

(k2-2k)(k2-5k)>0.

看不等式的左端

(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5).

因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求.

例9 若abc=1,解方程

解 因为abc=1,所以原方程可变形为

化简整理为

化简整理为

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说明 像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.

例10 若a,b,c是正数,解方程

解法1 原方程两边乘以abc,得到方程

ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得

ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]

+ac[x-(a+b+c)]=0,

因此有

[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0.

因为a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以

x-(a+b+c)=0,

即x=a+b+c为原方程的解.

解法2 将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到

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其余两项做类似处理.

设m=a+b+c,则原方程变形为

所以

x-(a+b+c)=0.

所以x=a+b+c为原方程的解.

说明 注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.

例11 设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:

分析 要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n与(n+1)

?,n[x]都是整数,所以x必是整数.

解 根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为

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合并同类项得

故有

所以x=n(n+1)为原方程的解.

例12 已知关于x的方程

且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.

解 由原方程可解得

a最小,所以x应取x=160.所以

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所以满足题设的自然数a的最小值为2.

练习四

1.解下列方程:*

2.解下列关于x的方程: (1)a2(x-2)-3a=x+1;

4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.

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