第一章 集合
章末测评
1.如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A.（M∩P）∩S B.（M∩P）∪S C.（M∩P）∩
S D.（M∩P）∪
S
思路解析:符号语言、图形语言、文字语言三者的转译能力是高考命题的一个侧重点，应力求熟练准确.题图中阴影部分的元素x的属性是:x∈M且x∈P，但x?S.故选C. 答案:C
2
2.若集合M={1，3，x}，N={x，1}且M∪N={1，3，x}，那么满足条件的x值的个数是…( ) A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析:∵M∪N=M，∴N?M.
22
∴x=3或x=x?x=±3或x=0，其中x=1舍去.
答案:C 3.集合A={x|y=
12，x∈Z，y∈Z }的元素个数为( ) x?3A.4 B.5 C.10 D.12 思路解析:这里不要漏掉的是负整数. 因为x、y∈Z，
所以x+3=±1，±2，±3，±4，±6，±12. 所以x的值有12个. 答案:D
4.已知集合A={-1，2}，B={x|mx＋1=0}，若A∪B=A，则实数m的值是( )
111 B.1 C.- 或1 D.0或1或- 222思路解析:由A∪B=A，得B?A.
∵A={-1，2}，∴B=?或{-1}或{2}.
A.-∴方程mx＋1=0的根的情况可以是（1）无实根；（2）x=-1；（3）x=2.相应解得m=0或1或-
1. 22
答案:D
5.（2006安徽高考理）设集合A={x||x-2|≤2,x∈R },B={y=-x,-1≤x≤2},则(A∩B)等于( ) A.R B.{x|x∈R,x≠0} C.{0} D.? 思路解析:A=［0,2］,B=［-4,0］, 所以 {A∩B}= {0}. 答案:B
6.设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x?P}，则M-（M-P）等于( )
A.P B.M C.M∩P D.M∪P
思路解析:这是一道新定义的集合运算，关键是将M-P用我们熟悉的交、并、补运算来表示.根据定义，“x∈M且x?P”等价于“x∈M∩（于是有M-（M-P）=M-［M∩（
P）］=M∩（
P）”，为此，可设全集为U，则M-P=M∩（M∪P）=（M∩
P）.
M）∪（M∩P）=?∪（M∩P）
=M∩P. 答案:C
7.已知集合M={（x，y）|x+y=2}，集合N={（x，y）|x-y=4}，则M∩N等于( ) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)}
思路解析:本题考查集合的表示方法，两个集合都是点集，因此两个集合的交集也应该是点集，据此本题就只有D符合要求.当然，解题过程中最好还是验证一下x、y的值. 答案:D
8.U是全集，A、B是非空集合且AA.A∩(
B?U，那么下列集合中为空集的是( )
A)∩B A)∩(
B)
B) B.(
C.A∩B D.( 思路解析:画出Venn图，易得A∩（
B）=?.
答案:A
9.已知集合M={x|x=3n，n∈Z }，N={x|x=3n＋1，n∈Z }，P={x|x=3n-1，n∈Z }，且a∈M，b∈N，c∈P.设d=a-b＋c，则( )
A.d∈ B.d∈N C.d∈P D.d∈M∪P 思路解析:∵a∈M，b∈N，c∈P，d=a-b＋c，
∴可设a=3m，b=3n＋1，c=3k-1，其中m、n、k∈Z.
∴d=a-b＋c=3m-（3n＋1）＋3k-1=3（m-n＋k）-2=3（m-n＋k-1）＋1. ∵m-n＋k-1∈Z，∴d∈N. 答案:B
10.某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，如果既会骑自行车又会游泳的有57人，则既不会骑自行车又不会游泳的有( )
A.10人 B.12人 C.14人 D.17人 思路解析:画图分析会更直观（略）.令既不会骑自行车又不会游泳的人数为x. 则由集合运算关系，有85=68+62-57+x，∴x=12.故选B. 答案:B
2
11.已知集合A={x|x-2x-3=0}，集合B={x|ax-1=0}.若B是A的真子集，则a的值为________. 思路解析:因集合A是确定的，所以先求出集合A={-1，3}. B是A的真子集，需考虑两种情况:
（1）B是空集时，a=0； （2）B不是空集时，a=-1或a=答案:0或-1或
1. 31 3*
12.集合{（x，y）|2x＋3y=12，x∈N，y∈N}，用列举法表示为_____________.
*
思路解析:∵2x＋3y=12，x∈N，y∈N， ∴x=0，y=4或x=3，y=2.
∴原集合用列举法表示为{（0，4），（3，2）}. 答案:{（0，4），（3，2）} 13.已知全集U={不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩（A∪（
B）={2，3，5，7，13，17，23}，（
A）∩（
B）={5，13，23}，
B）={3，7}，则A =_________，B=_________.
A）∩（
B）
思路解析:U={不大于30的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19，23}，而（=（A∪B），画出韦恩图，标出三个集合A∩（
B），A∪（
B），（A∪B），易得A∩B={2，
17}.
∴A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29}.
答案:{2，5，13，17，23} {2，11，17，19，29}
2+
14.已知集合A={x|x+（m+2）x+1=0}，若A∩R=?，则实数m的取值范围为___________. 思路解析:本题综合考查方程的根与系数的关系以及集合的运算，同时此题还需特别注意空
+
集的特殊性.A∩R=?，
???(m?2)2?4?0,2
所以方程x+（m+2）x+1=0有两负根或无实数根，即?或Δ=（m+2）-4<0.
??(m?2)?02
综上可得m>-4. 答案:m>-4
15.已知全集I=R，集合A={x|x+ax+12b=0}，B={x|x-ax+b=0}，满足（A）∩B={2}，（B）∩A={4}，求实数a、b的值.
思路解析:根据题意列出关于a、b的方程组,求解即可.
解:（A）∩B={2}，则2∈B且2?A，由此可得4-2a+b=0. ① （B）∩A={4}，则4∈A且4?B，由此可得16+4a+12b=0. ② 解①②可得a=
2
2
812，b=-.
7716.某班有学生50人，解甲、乙两道数学题.已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
（1）至少解对其中一题者有多少人？ （2）两题均未解对者有多少人？
解:（1）设全集为U，A＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，
则 A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}， A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}， （A∪B∪C）＝{两题均未解对的学生}. 因此A∪B∪C有N1=34+28-20=42（人）. ∴至少解对其中一题者有42个人. （2）由（1）得
（A∪B∪C）有N2=50-42=8（人）,
∴两题均未解对者有8个人.
17.设集合A={x|2x＋3px＋2=0}，B={x|2x＋x＋q=0}，其中p、q、x∈R，当A∩B={求p的值及A∪B. 思路解析:∵A∩B={∴
2
2
1}时，2111}，∴∈A，且∈B. 222122
既是方程2x＋3px＋2=0的根，又是方程2x＋x＋q=0的根. 2代入易求得p、q的值，从而得集合A、B，求得A∪B.
11}，∴∈A. 22121∴2（）＋3p（）＋2=0.
2251∴p=-.∴A={，2}.
3211又∵A∩B={}，∴∈B.
22121∴2（）＋＋q=0.
221∴q=-1.∴B={，-1}.
21∴A∪B={-1，，2}.
2解:∵A∩B={
18.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围.
思路解析:本题考查集合的交、并运算以及空集的特殊性,可以通过画数轴分析. 解:由A∪B=A得B?A，但需注意B=?和B≠?两种情况. （1）B=?时，由m+1>2m-1可得m<2；
?m?1?2m?1,?（2）B≠?时，则??2?m?1,解得2≤m≤3.综上可得m≤3.
?2m?1?5,?19.设有两个集合A和B,A={x|x-8x+15=0},B={x|ax-1=0}，若BA，求a的取值范围. 思路解析:本题主要考查子集、真子集的定义,集合的概念.BA的意义,即B是A的真子集,而当B=?时也适合题意. 解:由已知A={3,5},∵Ba=
A,当B=?时,a=0;当B≠?时,则a≠0,此时有
2
11=3或=5,即aa11或a=, 35∴a的取值范围是{0,
2
11,}. 352
20.设集合M={A|a=x-y，x、y∈Z }，求证： （1）一切奇数属于M；
（2）4k-2（k∈Z）不属于M；
（3）M中任意两个数的乘积仍属于M.
22
证明:（1）设奇数a=2k-1，则a=2k-1=k-（k-1），其中k、k-1∈Z. 所以一切奇数属于M.
22
（2）可利用反证法.假设4k-2∈M（k∈Z），则存在x、y∈Z，使得4k-2=x-y， 即2（2k-1）=（x+y）（x-y），则（x+y）与（x-y）中必有一个奇数、一个偶数. 但是（x+y）与（x-y）有相同的奇偶性，得出矛盾. 所以4k-2（k∈Z）不属于M.
2222
（3）设a=x1-y1，b=x2-y2（x1、x2、y1、y2∈Z），
22222222222222
则ab=（x2-y2）（x1-y1）=（x1x2+y1y2）-（x1y2+y1x2）=（x1x2-y1y2）-（x1y2-y1x2），其中（x1x2-y1y2），（x1y2-y1x2）∈Z，所以ab∈M.
高中数学第一章集合章末测评2苏教版必修1
