[目的]
1.利用等比数列的通项公式前n项和公式进行基本量的计算；2.利用等比数列的有关性质进行运算；3.结合常见变形判断证明等比数列．
[基础梳理]
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． an＋1
②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)．
an
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. (2)前n项和公式：
na1，q＝1，??
Sn＝?a1?1－qn?a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn
－m
－
(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
[考点例题]
考点一 等比数列的性质及基本量的计算|方法突破
(1)(2018·甘肃两市六校联考)在递增的等比数列{an}中，已知a1＋an＝34，a3·an－2＝64，且前n项和Sn＝42，则n＝( )
A．3 C．5
B．4 D．6
(2)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________. (3)(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和． 已知S2＝2，S3＝－6. ①求{an}的通项公式；
②求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
[跟踪训练]
1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若2a1＋3a2＝1，a3＝3a4，则2Sn＋an＝( ) A．1 1C. 2
1B. 3D．2
2
2．(2018·沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a7＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，
则b3b11等于( )
A．16 C．4
B．8 D．2
考点二 等比数列的判定或证明|方法突破
(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a是不为0的实数)，则{an}( ) A．一定是等比数列 B．一定是等差数列 C．是等差数列或是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
(3)(2018·泰安模拟)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，设bn＝an＋1－2an. ①求证：{bn}是等比数列；
an②设cn＝，求证：{cn}是等比数列．
3n－1
等比数列的判断与证明的常用方法
方法 解读 an＋1在an≠0(n∈N*)前提下，若＝q(q为anan非零常数)或＝q(q为非零常数，n≥2an－1且n∈N*)，则{an}是等比数列 等比中项法 通项公式法 数列{an}中，an≠0，如果根据已知条件*或者是能化简得到a2n＋1＝an·an＋2(n∈N)，适合题型 已知中提供的递推关系式，或者是an与Sn的关系式进行化简，转化为数列{an}中相邻两项之间的关系 定义法 证明三项成等比数列 证明此式成立，则数列{an}是等比数列 观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成an＝c·qn1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 －能明确通项公式，用于选择或填空题中 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则数列{an}是等比数列 能明确前n项和公式，只用于选择或填空题中
[跟踪训练]
4
1．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
3A．－6(1－3C．3(1－3
－10
)
1
B.(1－310) 9D．3(1＋3
－10
－10
) )
1
，n＝1,2,3，….判断{bn}a2n
2．已知{an}是各项均为正数的等差数列，lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，又bn＝是否为等比数列？
考点三 等比数列前n项和及综合应用|方法突破
角度1 等比数列的求和问题
(1)(2018·大同模拟)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( ) 1
A. 857C. 8
1B．－
855D. 8
(2)(2018·唐山模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为__________．
1．等比数列常见性质的应用 (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形； (3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2．与等比数列前n项和Sn相关的结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q. ①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q； a1＋a2n＋1q②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)． 1＋qSn＋m－Sn(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm?qn＝(q为公比)． Sm[跟踪训练]
1．(2018·沈阳模拟)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝__________.
角度2 等比数列的综合问题
1．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*. (1)证明：an＋2＝3an； (2)求Sn.
1．明条件：明确条件是关于an的递推关系，还是Sn或者an与Sn的混合关系． 2．明所求：明确是求an还是Sn或者q. 3．明方法：由题设条件和所求，选用合适的公式，进而确定方法． 4．明误点：等比数列的公比是否为1；项数是奇数还是偶数，是连续的还是间隔的． 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
[考点跟踪]
1.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝__________. 2.[考点三](2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
3.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
[高考真题]
1．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( ) A．1 C．2
B．±1 D．±2
2．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________. 3．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝__________. 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. 1
(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
21113
(2)证明＋＋…＋<.
a1a2an2
[练习]
1．(2018·长春调研)等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为( ) A．1 1
C．1或－
2
1B．－
21
D．－1或－
2
2．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( ) A．1 1C. 2
B．－1 D．2
14
3．已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在两项am，an，使得aman＝4a1，则＋的最小值为( )
mn3A. 225C. 6
5B. 3D．不存在
4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________. 3
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．
2(1)求数列{an}的通项公式；
an111
(2)设bn＝2log3＋1，求＋＋…＋.
2b1b2b2b3bn－1bn
[答案]
[考点例题]
考点一
(1)因为{an}为等比数列，所以a3·an－2＝a1·an＝64，又a1＋an＝34，所以a1，an是方程x2－34x＋64＝0的两根，
?a1＝2，?a1＝32，?a1＝2，???a1－anq2－32q
??解得或又因为{an}是递增数列，所以?由Sn＝＝＝42，解得q＝4，由
1－q1－q????an＝32?an＝2，?an＝32.
an＝a1qn1＝2×4n1＝32，解得n＝3，故选A.
(2)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化简得，2q2－5q＋2＝0，即(2q－1)(q－2)＝0， 由题意知，q>1.∴q＝2.
(3)①设{an}的公比为q.由题设可得
??a1?1＋q?＝2，
? 2?＝－6.?a?1＋q＋q?1
－－
等比数列常考考点及经典例题 - 图文
