5．（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯
形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相
同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存
在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t．．．的值；若不存在，请说明理由．
y y D C D B x C1 B1 x O M A 图1
O1 A1 O M 图2
【分析】第（1）问，已知O、A两点的坐标点O（0，0）、A（2，0），发现对称轴为x＝1；再设二次函数解析式y＝a（x-0）（x-2）将B（6，3）代入即可．
第（2）问，注意到OA与CB两平行线之间的距离可由A（2，0）、B（6，3）看出是3，在平移梯形的过程中它保持不变．利用y2?y1?3列出一个关于x1、x2的方程，再利用面积S＝36关系再列出一个关于x1、x2的方程，解这两个方程组成的方程组，确定x1的值便可求出点A1的坐标.
第（3）问，如下图1-0本题先要找到当点P经过t秒时PQ∥AB，进而分两种情况：当没有到达这一时刻之前，和过了这一时刻之后.
y F B x y C D Q P C D P B x G O M A E 图1-1
图1—0
情况1.如图1-1，寻求△DPQ∽△DEB，运用相似比来解答. 情况2. 如图1-2，也是寻求△DPQ∽△DEB，运用相似比来解答.
【答案】（1）对称轴：直线x?1 解析式：y?
G Q O M A E F 图1-2
18x?21418x或y?）
18(x?1)?218
顶点坐标：M（1，? （2）由题意得 y2?y1?3
y2?y1?18x2?214x2?18x1?214x1?3
得：(x2?x1)[18(x2?x1)?14]?3①
s?2(x1?1?x2?1)??2s3?2 ②
?3(x1?x2)?6
得：x1?x2?把②代入①并整理得：x2?x1?72s(S＞0) (事实上，更确切为S＞66)
?x1?6?x2?x1?14，当s?36时，? 解得：?(注：S＞0或S＞66不写不扣分)
x?x?2.x?81?2?2把x1?6代入抛物线解析式得y1?3 ∴点A1（6，3） （3）存在
解法一：易知直线AB的解析式为y?∴BD＝5，DE＝
34x?33，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为?1,??
??24??154，DP＝5－t，DQ＝ t
当PQ∥AB时，
DQDE?DPDB
t154?5?t5 得 t?157
下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G ① 当0?t?157时，如图1-1 ∵△FQE∽△FAG ∴∠FGA＝∠FEQ
∴∠DPQ＝∠DEB 易得△DPQ∽△DEB ∴
DQDB?DPDE
∴
t5?5?t154 得t?207?157 ∴t?207(舍去)
② 当
157?t??18时，如图1-2
∵△FQE∽△FAG ∴∠FAG＝∠FQE ∵∠DQP＝∠FQE ∠FAG＝∠EBD ∴∠DQP＝∠DBE 易得△DPQ∽△DEB ∴
∴
DQDB?DPDE
t5?5?t154207， ∴t?207
∴当t?秒时，使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似．
解法二：可将y?x28?x4向左平移一个单位得到y?x28?18,再用解法一类似的方法可求得
x2??x1??72S , A1?(5,3), t? A1(6,3), t?207207 .
∴x2?x1?
72S
2010中考数学相似三角形精选
